Номер 1.19, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.19. Внутри трехгранного угла (рис. 1.12), все плоские углы при вершине которого равны $90^\circ$, взята точка. Расстояния от этой точки до граней трехгранного угла равны 5 см, 7 см и 9 см. Найдите расстояние от этой точки до вершины трехгранного угла.

Рис. 1.12

Введем прямоугольную систему координат, начало которой совпадает с вершиной трехгранного угла O. Поскольку все плоские углы при вершине равны 90°, оси координат Ox, Oy и Oz можно направить вдоль ребер этого угла.

В такой системе координат грани трехгранного угла будут лежать на координатных плоскостях: Oxy, Oyz и Oxz.

Пусть D — точка внутри трехгранного угла с координатами $(x, y, z)$. Расстояние от точки D до координатной плоскости Oyz (уравнение которой $x=0$) равно $|x|$. Аналогично, расстояние до плоскости Oxz (уравнение $y=0$) равно $|y|$, а до плоскости Oxy (уравнение $z=0$) равно $|z|$.

Так как точка D находится внутри трехгранного угла (в первом октанте), ее координаты $x, y, z$ положительны. Следовательно, расстояния от точки D до граней — это и есть ее координаты. По условию, эти расстояния равны 5 см, 7 см и 9 см. Таким образом, координаты точки D — это числа 5, 7 и 9 в произвольном порядке. Пусть $x=5$, $y=7$, $z=9$.

Нам нужно найти расстояние от точки D до вершины трехгранного угла O, то есть до начала координат $(0, 0, 0)$. Это расстояние является длиной диагонали прямоугольного параллелепипеда со сторонами, равными координатам точки D. Для нахождения этого расстояния воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

В нашем случае это расстояние OD от точки D(5, 7, 9) до точки O(0, 0, 0):

$OD = \sqrt{(5 - 0)^2 + (7 - 0)^2 + (9 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 7^2 + 9^2}$

Выполним вычисления:

$OD = \sqrt{25 + 49 + 81} = \sqrt{155}$

Таким образом, расстояние от точки до вершины трехгранного угла равно $\sqrt{155}$ см.

Ответ: $\sqrt{155}$ см.