Номер 1.12, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.12. Найдите площадь полной поверхности тетраэдра (треугольная пирамида, все грани которой есть правильные треугольники), если его ребро равно:

1) 2 см;

2) 4 м;

3) 5 дм;

4) 12 мм.

Тетраэдр, о котором идет речь в задаче, является правильным, поскольку все его грани — правильные (равносторонние) треугольники. Площадь полной поверхности такого тетраэдра $S_{полн}$ равна сумме площадей его четырех одинаковых граней.

Площадь одной грани, которая представляет собой равносторонний треугольник со стороной $a$ (равной ребру тетраэдра), вычисляется по формуле: $S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Так как у тетраэдра 4 грани, то общая площадь его поверхности равна: $S_{полн} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$.

Используем эту формулу для вычисления площади в каждом из предложенных случаев.

1) При длине ребра $a = 2$ см:

$S_{полн} = 2^2 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см².

Ответ: $4\sqrt{3}$ см².

2) При длине ребра $a = 4$ м:

$S_{полн} = 4^2 \cdot \sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ м².

Ответ: $16\sqrt{3}$ м².

3) При длине ребра $a = 5$ дм:

$S_{полн} = 5^2 \cdot \sqrt{3} = 25\sqrt{3}$ дм².

Ответ: $25\sqrt{3}$ дм².

4) При длине ребра $a = 12$ мм:

$S_{полн} = 12^2 \cdot \sqrt{3} = 144\sqrt{3}$ мм².

Ответ: $144\sqrt{3}$ мм².