Номер 1.6, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.6. Существует ли четырехгранный угол, плоские углы при вершине которого равны:

1) $30^\circ$, $80^\circ$, $90^\circ$ и $160^\circ$;

2) $150^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$ и $20^\circ$;

3) $150^\circ$, $60^\circ$, $50^\circ$ и $30^\circ$;

4) $170^\circ$, $100^\circ$, $90^\circ$ и $80^\circ$?

Для того чтобы четырехгранный угол (являющийся видом многогранного угла) существовал, должны выполняться два основных условия:

1. Сумма всех плоских углов при вершине должна быть меньше $360^\circ$.
2. Каждый плоский угол (в частности, наибольший из них) должен быть меньше суммы всех остальных плоских углов.

Проверим эти условия для каждого из предложенных наборов углов.

1) 30°, 80°, 90° и 160°

Проверим первое условие — найдем сумму плоских углов:

$30^\circ + 80^\circ + 90^\circ + 160^\circ = 360^\circ$

Сумма углов равна $360^\circ$, а для существования многогранного угла она должна быть строго меньше $360^\circ$. Первое условие не выполняется, следовательно, такой угол не существует.

Ответ: не существует.

2) 150°, 90°, 90° и 20°

1. Проверим сумму плоских углов:

$150^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 20^\circ = 350^\circ$

Сумма $350^\circ < 360^\circ$, поэтому первое условие выполняется.

2. Проверим второе условие. Наибольший угол равен $150^\circ$. Найдем сумму остальных углов:

$90^\circ + 90^\circ + 20^\circ = 200^\circ$

Сравниваем наибольший угол с суммой остальных: $150^\circ < 200^\circ$. Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, такой четырехгранный угол существует.

Ответ: существует.

3) 150°, 60°, 50° и 30°

1. Проверим сумму плоских углов:

$150^\circ + 60^\circ + 50^\circ + 30^\circ = 290^\circ$

Сумма $290^\circ < 360^\circ$, поэтому первое условие выполняется.

2. Проверим второе условие. Наибольший угол равен $150^\circ$. Найдем сумму остальных углов:

$60^\circ + 50^\circ + 30^\circ = 140^\circ$

Сравниваем наибольший угол с суммой остальных: $150^\circ > 140^\circ$. Второе условие не выполняется.

Так как одно из необходимых условий не выполнено, такой четырехгранный угол не существует.

Ответ: не существует.

4) 170°, 100°, 90° и 80°

Проверим первое условие — найдем сумму плоских углов:

$170^\circ + 100^\circ + 90^\circ + 80^\circ = 440^\circ$

Сумма $440^\circ > 360^\circ$, что нарушает первое условие. Следовательно, такой угол не существует.

Ответ: не существует.