Номер 1.2, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.2. Из плотной бумаги изготовьте модель трехгранного (четырехгранного, пятигранного) угла и назовите все его элементы.

Трехгранный угол

Для изготовления модели трехгранного угла из плотной бумаги необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить на бумаге развертку. Для этого выберите точку $S$ — будущую вершину угла.
2. Проведите из точки $S$ три луча $SA$, $SB$ и $SC$ так, чтобы они образовывали три плоских угла, например, $\angle ASB = \alpha_1$, $\angle BSC = \alpha_2$. Третий угол, $\angle ASC = \alpha_3$, образуется после склеивания краев развертки. На чертеже лучи $SA$ и $SC$ (которые будут склеиваться) будут крайними, а $SB$ — внутренним.
3. Важным условием для существования выпуклого трехгранного угла является то, что сумма его плоских углов должна быть меньше $360^\circ$ ($\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 < 360^\circ$), а каждый плоский угол должен быть меньше суммы двух других (например, $\alpha_1 < \alpha_2 + \alpha_3$).
4. Вырежьте фигуру, ограниченную лучами $SA$, $SC$ и, для удобства, дугой окружности с центром в $S$, соединяющей точки $A$ и $C$.
5. Согните бумагу по лучу $SB$.
6. Совместите и склейте края, соответствующие лучам $SA$ и $SC$. Получится объемная модель трехгранного угла.

Элементы трехгранного угла:

• Вершина — общая точка $S$, из которой выходят все рёбра.
• Рёбра — три луча, являющиеся линиями пересечения граней ($SA$, $SB$, $SC$).
• Грани — три плоских угла, образующих сам многогранный угол (грань $(SAB)$, грань $(SBC)$, грань $(SCA)$).
• Плоские углы — углы при вершине в каждой грани ($\angle ASB$, $\angle BSC$, $\angle CSA$).
• Двугранные углы — три угла, образованные соседними гранями (угол при ребре $SA$, угол при ребре $SB$, угол при ребре $SC$).

Ответ: Элементами трехгранного угла являются: одна вершина, три ребра, три грани, три плоских угла и три двугранных угла.

Четырехгранный угол

Изготовление модели четырехгранного угла аналогично, но с четырьмя гранями:

1. Выберите на бумаге точку $S$ (вершину).
2. Проведите из нее четыре луча $SA$, $SB$, $SC$, $SD$. Сумма образуемых ими плоских углов в развертке ($\angle ASB + \angle BSC + \angle CSD$) и замыкающего угла ($\angle DSA$, который образуется при склейке) должна быть меньше $360^\circ$.
3. Вырежьте развертку — фигуру, ограниченную крайними лучами ($SA$ и $SD$ на развертке).
4. Согните бумагу по внутренним лучам ($SB$ и $SC$).
5. Совместите и склейте края $SA$ и $SD$.

Элементы четырехгранного угла:

• Вершина — точка $S$.
• Рёбра — четыре луча ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$).
• Грани — четыре плоских угла ($(SAB)$, $(SBC)$, $(SCD)$, $(SDA)$).
• Плоские углы — четыре угла при вершине в каждой грани ($\angle ASB$, $\angle BSC$, $\angle CSD$, $\angle DSA$).
• Двугранные углы — четыре угла между соседними гранями (при каждом из четырех ребер).

Ответ: Элементами четырехгранного угла являются: одна вершина, четыре ребра, четыре грани, четыре плоских угла и четыре двугранных угла.

Пятигранный угол

Для модели пятигранного угла потребуется пять граней:

1. Наметьте вершину $S$ и проведите из нее пять лучей ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $SE$).
2. Сумма всех пяти плоских углов между лучами ($\angle ASB + \angle BSC + \angle CSD + \angle DSE + \angle ESA$) должна быть меньше $360^\circ$.
3. Вырежьте развертку по крайним лучам ($SA$ и $SE$ на развертке).
4. Сделайте сгибы по внутренним лучам ($SB$, $SC$, $SD$).
5. Склейте края $SA$ и $SE$.

Элементы пятигранного угла:

• Вершина — точка $S$.
• Рёбра — пять лучей ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $SE$).
• Грани — пять плоских углов ($(SAB)$, $(SBC)$, $(SCD)$, $(SDE)$, $(SEA)$).
• Плоские углы — пять углов при вершине в каждой грани ($\angle ASB$, $\angle BSC$, $\angle CSD$, $\angle DSE$, $\angle ESA$).
• Двугранные углы — пять углов между соседними гранями (при каждом из пяти ребер).

Ответ: Элементами пятигранного угла являются: одна вершина, пять ребер, пять граней, пять плоских углов и пять двугранных углов.