Номер 0.26, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.26. Точки $\text{A}$ и $\text{B}$ принадлежат разным граням двугранного угла, отрезки $\text{AC}$ и $\text{BD}$ являются перпендикулярами, опущенными на ребро этого двугранного угла и $AC = BD$. Докажите, что $∠ABC = ∠BAD$.

Дано:

Пусть дан двугранный угол с ребром l. Точка A принадлежит одной его грани, а точка B — другой. Отрезки AC и BD являются перпендикулярами, опущенными на ребро l, где точки C и D лежат на ребре l. Таким образом, $AC \perp l$ и $BD \perp l$. Также по условию дано, что $AC = BD$.

Доказать:

$∠ABC = ∠BAD$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $△ACD$ и $△BDC$.

2. Поскольку $AC$ является перпендикуляром к прямой l ($AC \perp l$) и точка D лежит на этой прямой ($D \in l$), то отрезок AC перпендикулярен отрезку CD. Следовательно, треугольник $△ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине C, то есть $∠ACD = 90°$.

3. Аналогично, поскольку $BD \perp l$ и $C \in l$, то отрезок BD перпендикулярен отрезку CD. Следовательно, треугольник $△BDC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине D, то есть $∠BDC = 90°$.

4. Применим теорему Пифагора для нахождения гипотенуз в этих прямоугольных треугольниках:

- В $△ACD$: $AD^2 = AC^2 + CD^2$.

- В $△BDC$: $BC^2 = BD^2 + CD^2$.

5. Из условия задачи известно, что $AC = BD$. Возведя обе части этого равенства в квадрат, получим $AC^2 = BD^2$.

6. Сравнивая выражения для квадратов гипотенуз, мы видим, что их правые части равны, так как $AC^2 = BD^2$ и $CD^2$ является общим слагаемым: $AC^2 + CD^2 = BD^2 + CD^2$.

7. Отсюда следует, что $AD^2 = BC^2$. Так как длины отрезков являются положительными величинами, то $AD = BC$.

8. Теперь рассмотрим треугольники $△ABC$ и $△BAD$. Сравним их стороны:

- $AC = BD$ (по условию задачи).

- $BC = AD$ (доказано в пункте 7).

- AB — общая сторона.

9. Таким образом, треугольники $△ABC$ и $△BAD$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам): $△ABC \cong △BAD$.

10. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В $△ABC$ угол $∠ABC$ лежит напротив стороны AC. В $△BAD$ угол $∠BAD$ лежит напротив стороны BD. Поскольку стороны $AC$ и $BD$ равны ($AC = BD$), то и противолежащие им углы в равных треугольниках также равны.

Следовательно, $∠ABC = ∠BAD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $∠ABC = ∠BAD$ доказано на основе равенства треугольников $△ABC$ и $△BAD$ по трем сторонам.