Номер 0.21, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.21. Точка K – середина медианы $AA_1$ треугольника $ABC$, а O – произвольная точка пространства. Выразите $\vec{OK}$ через векторы $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$.

Поскольку $AA_1$ - медиана треугольника $ABC$, точка $A_1$ является серединой стороны $BC$. Радиус-вектор точки $A_1$ из произвольной точки пространства $O$ можно выразить через радиус-векторы точек $B$ и $C$ по формуле для середины отрезка:

$\overline{OA_1} = \frac{1}{2}(\overline{OB} + \overline{OC})$.

По условию задачи нам даны векторы $\overline{OA} = \bar{a}$, $\overline{OB} = \bar{b}$ и $\overline{OC} = \bar{c}$. Подставляя известные векторы в формулу для $\overline{OA_1}$, получаем:

$\overline{OA_1} = \frac{1}{2}(\bar{b} + \bar{c})$.

Далее, по условию, точка $K$ является серединой медианы $AA_1$. Аналогично, радиус-вектор точки $K$ из точки $O$ можно выразить через радиус-векторы точек $A$ и $A_1$:

$\overline{OK} = \frac{1}{2}(\overline{OA} + \overline{OA_1})$.

Теперь подставим в это выражение ранее найденное выражение для $\overline{OA_1}$ и данный в условии вектор $\overline{OA} = \bar{a}$:

$\overline{OK} = \frac{1}{2}\left(\bar{a} + \frac{1}{2}(\bar{b} + \bar{c})\right)$.

Осталось упростить полученное выражение. Раскроем скобки, последовательно выполняя умножение на скаляры:

$\overline{OK} = \frac{1}{2}\bar{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\bar{b} + \bar{c}) = \frac{1}{2}\bar{a} + \frac{1}{4}(\bar{b} + \bar{c})$.

$\overline{OK} = \frac{1}{2}\bar{a} + \frac{1}{4}\bar{b} + \frac{1}{4}\bar{c}$.

Данное выражение можно также представить в виде общей дроби, приведя все слагаемые к общему знаменателю 4:

$\overline{OK} = \frac{2\bar{a}}{4} + \frac{\bar{b}}{4} + \frac{\bar{c}}{4} = \frac{2\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}}{4}$.

Ответ: $\overline{OK} = \frac{1}{2}\bar{a} + \frac{1}{4}\bar{b} + \frac{1}{4}\bar{c}$.