Номер 0.24, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.24. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ попарно перпендикулярны и $|\vec{a}| = a$. Найдите значение скалярного произведения $(2\vec{a}-3\vec{b})\cdot(3\vec{a}+\vec{c})$.

Для того чтобы найти значение скалярного произведения, необходимо раскрыть скобки, используя дистрибутивный закон для скалярного произведения векторов: $(x+y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$.

$(2\bar{a} - 3\bar{b}) \cdot (3\bar{a} + \bar{c}) = (2\bar{a}) \cdot (3\bar{a}) + (2\bar{a}) \cdot \bar{c} - (3\bar{b}) \cdot (3\bar{a}) - (3\bar{b}) \cdot \bar{c}$

Используя свойство скалярного произведения $(k\bar{u}) \cdot (m\bar{v}) = km(\bar{u} \cdot \bar{v})$, получим:

$= 6(\bar{a} \cdot \bar{a}) + 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 9(\bar{b} \cdot \bar{a}) - 3(\bar{b} \cdot \bar{c})$

По условию, векторы $\bar{a}$, $\bar{b}$, $\bar{c}$ попарно перпендикулярны. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Следовательно:

$\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$ (и $\bar{b} \cdot \bar{a} = 0$)

$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$

$\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$

Также известно, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: $\bar{a} \cdot \bar{a} = |\bar{a}|^2$.

Подставим эти значения в наше выражение:

$6(\bar{a} \cdot \bar{a}) + 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 9(\bar{b} \cdot \bar{a}) - 3(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 6|\bar{a}|^2 + 2 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 6|\bar{a}|^2$

В условии задачи дано, что $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = a$. Подставим это значение в полученное выражение:

$6|\bar{a}|^2 = 6a^2$

Ответ: $6a^2$.