Номер 0.22, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.22. Ребро правильного тетраэдра $OABC$ равно $\sqrt{2}$, а $\text{K}$ является серединой отрезка $\text{OA}$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{BK}$ и $\vec{BC}$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы, исходящие из вершины O: $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$.

Поскольку OABC — правильный тетраэдр, все его ребра равны. По условию, длина ребра составляет $\sqrt{2}$. Следовательно, длины базисных векторов равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = \sqrt{2}$.

В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками, поэтому угол между любыми двумя ребрами, выходящими из одной вершины, равен 60°. Это означает, что углы между нашими базисными векторами также равны 60°. Найдем скалярные произведения базисных векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(60^\circ) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos(60^\circ) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos(60^\circ) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$

Теперь выразим искомые векторы $\vec{BK}$ и $\vec{BC}$ через базис. Вектор $\vec{BC}$ можно представить как разность векторов $\vec{OC}$ и $\vec{OB}$: $\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \vec{c} - \vec{b}$.

Точка K является серединой отрезка OA. Это означает, что $\vec{OK} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$. Тогда вектор $\vec{BK}$ можно выразить как разность векторов $\vec{OK}$ и $\vec{OB}$: $\vec{BK} = \vec{OK} - \vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$.

Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов $\vec{BK}$ и $\vec{BC}$: $\vec{BK} \cdot \vec{BC} = (\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{c} - \vec{b})$.

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения: $\vec{BK} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \frac{1}{2}(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{b} \cdot \vec{c}) + (\vec{b} \cdot \vec{b})$.

Подставим ранее вычисленные значения скалярных произведений. Также учтем, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

$\vec{BK} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2}(1) - 1 + 2 = 0 - 1 + 2 = 1$.

Ответ: 1