Номер 0.18, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.18. К плоскости прямоугольника $ABCD$ проведен перпендикуляр $\text{AK}$ так, что расстояния от точки $\text{K}$ до вершин $\text{B}$, $\text{C}$ и $\text{D}$ равны $\text{6}$ см, $\text{9}$ см и $\text{7}$ см соответственно. Найдите перпендикуляр $\text{AK}$.

Поскольку отрезок $AK$ перпендикулярен плоскости прямоугольника $ABCD$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. В частности, $AK \perp AB$, $AK \perp AD$ и $AK \perp AC$.

Это означает, что треугольники $\triangle KAB$, $\triangle KAD$ и $\triangle KAC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A$.

По теореме Пифагора для этих треугольников можно записать следующие соотношения:

• В $\triangle KAB$: $KB^2 = AK^2 + AB^2$
• В $\triangle KAD$: $KD^2 = AK^2 + AD^2$
• В $\triangle KAC$: $KC^2 = AK^2 + AC^2$

Подставим известные значения расстояний: $KB = 6$ см, $KC = 9$ см, $KD = 7$ см.

• $6^2 = AK^2 + AB^2 \Rightarrow 36 = AK^2 + AB^2$
• $7^2 = AK^2 + AD^2 \Rightarrow 49 = AK^2 + AD^2$
• $9^2 = AK^2 + AC^2 \Rightarrow 81 = AK^2 + AC^2$

Из этих уравнений выразим квадраты сторон прямоугольника $AB$, $AD$ и его диагонали $AC$:

• $AB^2 = 36 - AK^2$
• $AD^2 = 49 - AK^2$
• $AC^2 = 81 - AK^2$

В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ и стороны $AB$, $BC$ образуют прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. По теореме Пифагора, $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $BC = AD$. Следовательно, $AC^2 = AB^2 + AD^2$.

Теперь подставим выражения для $AB^2$, $AD^2$ и $AC^2$ в это равенство:

$81 - AK^2 = (36 - AK^2) + (49 - AK^2)$

Решим полученное уравнение относительно $AK$:

$81 - AK^2 = 36 + 49 - AK^2 - AK^2$

$81 - AK^2 = 85 - 2AK^2$

Перенесем члены с $AK^2$ в левую часть, а числа — в правую:

$2AK^2 - AK^2 = 85 - 81$

$AK^2 = 4$

$AK = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, длина перпендикуляра $AK$ равна 2 см.

Ответ: 2 см.