Номер 0.14, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.14. Используя условие предыдущей задачи, выразите вектор $\overline{OC}$ через векторы $\overline{OA}$ и $\overline{OB}$, если:

1) $\overline{AC} = \overline{CB}$;

2) $\overline{AC} = 2\overline{CB}$.

Для решения задачи выразим векторы $\overline{AC}$ и $\overline{CB}$ через радиус-векторы точек A, B, C, проведенные из начала координат O:

$\overline{AC} = \overline{OC} - \overline{OA}$

$\overline{CB} = \overline{OB} - \overline{OC}$

Далее подставим эти выражения в условия задачи.

1) $\overline{AC} = \overline{CB}$

Подставляем выражения в данное равенство:

$\overline{OC} - \overline{OA} = \overline{OB} - \overline{OC}$

Чтобы выразить вектор $\overline{OC}$, сгруппируем члены с ним в левой части уравнения, а остальные — в правой:

$\overline{OC} + \overline{OC} = \overline{OA} + \overline{OB}$

$2\overline{OC} = \overline{OA} + \overline{OB}$

Разделив обе части на 2, получаем:

$\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OA} + \overline{OB})$

Это формула для радиус-вектора середины отрезка, что соответствует условию, так как точка C является серединой отрезка AB.

Ответ: $\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OA} + \overline{OB})$.

2) $\overline{AC} = 2\overline{CB}$

Аналогично, подставляем выражения для векторов в условие:

$\overline{OC} - \overline{OA} = 2(\overline{OB} - \overline{OC})$

Раскрываем скобки в правой части:

$\overline{OC} - \overline{OA} = 2\overline{OB} - 2\overline{OC}$

Переносим члены с вектором $\overline{OC}$ в левую часть, а остальные — в правую:

$\overline{OC} + 2\overline{OC} = \overline{OA} + 2\overline{OB}$

$3\overline{OC} = \overline{OA} + 2\overline{OB}$

Наконец, делим обе части на 3, чтобы выразить $\overline{OC}$:

$\overline{OC} = \frac{\overline{OA} + 2\overline{OB}}{3}$

Это выражение можно также записать как $\overline{OC} = \frac{1}{3}\overline{OA} + \frac{2}{3}\overline{OB}$. Оно соответствует формуле для точки, делящей отрезок AB в отношении $AC:CB = 2:1$.

Ответ: $\overline{OC} = \frac{1}{3}\overline{OA} + \frac{2}{3}\overline{OB}$.