Номер 0.7, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.7. Точки $A_1$ и $B_1$ являются серединами отрезков $\text{OA}$ и $\text{OB}$ соответственно. Плоскость $\alpha$ пересекает отрезки $\text{OA}$ и $\text{OB}$ в точках $A_1$ и $B_1$. Покажите, что $AB||\alpha$ и найдите:

1) $A_1B_1$, если $AB = 8$ см;

2) $\text{AB}$, если $A_1B_1 = 3$ м.

Рассмотрим треугольник $OAB$. По условию, точки $A_1$ и $B_1$ являются серединами отрезков $OA$ и $OB$ соответственно. Это означает, что отрезок $A_1B_1$ является средней линией треугольника $OAB$.

По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника. Следовательно, прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $AB$ ($A_1B_1 \parallel AB$).

Плоскость $\alpha$ пересекает отрезки $OA$ и $OB$ в точках $A_1$ и $B_1$, это означает, что прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A_1B_1 \subset \alpha$).

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то первая прямая параллельна данной плоскости.

Так как прямая $AB$ не лежит в плоскости $\alpha$ (поскольку точки $A$ и $B$ не совпадают с $A_1$ и $B_1$), и $AB \parallel A_1B_1$, где $A_1B_1 \subset \alpha$, то мы можем заключить, что $AB \parallel \alpha$. Что и требовалось доказать.

Теперь найдем требуемые значения.

1) По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины основания. То есть, $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$.

Если $AB = 8$ см, то $A_1B_1 = \frac{1}{2} \times 8 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

2) Используем то же соотношение: $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$. Из него можно выразить $AB$: $AB = 2 \times A_1B_1$.

Если $A_1B_1 = 3$ м, то $AB = 2 \times 3 = 6$ м.

Ответ: 6 м.