Номер 0.3, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.3. Решите предыдущую задачу при условии, что точки $\text{C}$ и $\text{D}$ расположены по разные стороны плоскости $\alpha$.

Поскольку в условии не приведены данные из "предыдущей задачи", будем считать, что они являются стандартными для такого типа задач. Пусть в предыдущей задаче были даны следующие условия:

• Две параллельные прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$.
• Расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно 4.
• Точка $C$ удалена от плоскости $\alpha$ на расстояние 3.
• Точка $D$ удалена от плоскости $\alpha$ на расстояние 7.
• Через точки $A$ на прямой $a$ и $B$ на прямой $b$ проведены прямые $AC$ и $BD$ так, что $AC \parallel BD$.
• Прямая, проходящая через точки $C$ и $D$, пересекает плоскость $\alpha$ в точке $E$.

В "предыдущей задаче", вероятно, точки $C$ и $D$ находились по одну сторону от плоскости $\alpha$. В данной задаче 0.3 они расположены по разные стороны. Требуется найти положение точки $E$ относительно прямых $a$ и $b$, то есть найти расстояния от точки $E$ до этих прямых.

0.3. 1. Рассмотрим расположение точек $C$, $D$ и $E$. Точка $E$ является точкой пересечения прямой $CD$ и плоскости $\alpha$.

2. Так как прямые $AC$ и $BD$ параллельны, то точки $A$, $C$, $B$, $D$ лежат в одной плоскости, образуя трапецию $ACDB$ (или параллелограмм). Прямая $CD$ лежит в этой же плоскости.

3. Точка $E$ принадлежит прямой $CD$ и плоскости $\alpha$. Точки $A$ и $B$ также принадлежат плоскости $\alpha$. Линия пересечения плоскости трапеции $ACDB$ и плоскости $\alpha$ - это прямая, проходящая через точки $A$ и $B$. Следовательно, точка $E$ должна лежать на прямой $AB$. Таким образом, точки $A$, $B$, $E$ коллинеарны.

4. Рассмотрим треугольники $\triangle AEC$ и $\triangle BED$. Так как $A, E, B$ коллинеарны и $C, E, D$ коллинеарны, то углы $\angle AEC$ и $\angle BED$ являются вертикальными, а значит, равны: $\angle AEC = \angle BED$.

Поскольку $AC \parallel BD$, то при пересечении этих параллельных прямых секущей $AB$ накрест лежащие углы равны: $\angle CAE = \angle DBE$.

Таким образом, треугольники $\triangle AEC$ и $\triangle BED$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон: $ \frac{AE}{BE} = \frac{CE}{DE} = \frac{AC}{BD} $

5. Теперь используем информацию о расстояниях точек $C$ и $D$ до плоскости $\alpha$. Опустим перпендикуляры $CC_1$ и $DD_1$ из точек $C$ и $D$ на плоскость $\alpha$. По условию, $CC_1 = 3$ и $DD_1 = 7$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ECC_1$ и $\triangle EDD_1$. Они лежат в одной вертикальной плоскости, проходящей через прямую $CD$.

- $\angle C_1EC = \angle D_1ED$ (вертикальные углы).

- $\angle CC_1E = \angle DD_1E = 90^\circ$ (так как $CC_1$ и $DD_1$ - перпендикуляры к плоскости $\alpha$).

Следовательно, $\triangle ECC_1 \sim \triangle EDD_1$ по двум углам. Из их подобия следует: $ \frac{CE}{DE} = \frac{CC_1}{DD_1} $

Подставив известные значения, получим: $ \frac{CE}{DE} = \frac{3}{7} $

6. Объединим результаты из пунктов 4 и 5: $ \frac{AE}{BE} = \frac{CE}{DE} = \frac{3}{7} $

Итак, мы получили, что точка $E$ на прямой $AB$ делит отрезок $AB$ в отношении $3:7$. Поскольку точки $C$ и $D$ находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$, точка пересечения $E$ будет лежать *между* проекциями $C_1$ и $D_1$, а значит, и *между* точками $A$ и $B$.

7. Найдем расстояния от точки $E$ до прямых $a$ и $b$. Пусть $d(E, a)$ - расстояние от $E$ до прямой $a$, а $d(E, b)$ - расстояние от $E$ до прямой $b$. Так как $E$ лежит между $A$ и $B$, то $A$ лежит на прямой $a$, а $B$ - на прямой $b$, то сумма этих расстояний равна расстоянию между прямыми $a$ и $b$: $ d(E, a) + d(E, b) = 4 $

Согласно обобщенной теореме Фалеса для параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $AB$, отношение расстояний от точки $E$ до этих прямых равно отношению отрезков, на которые точка $E$ делит отрезок $AB$: $ \frac{d(E, a)}{d(E, b)} = \frac{AE}{BE} = \frac{3}{7} $

8. Решим систему из двух уравнений: $ \begin{cases} d(E, a) + d(E, b) = 4 \\ \frac{d(E, a)}{d(E, b)} = \frac{3}{7} \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $d(E, b)$: $d(E, b) = \frac{7}{3} d(E, a)$.

Подставим в первое уравнение: $ d(E, a) + \frac{7}{3} d(E, a) = 4 $ $ \frac{3}{3} d(E, a) + \frac{7}{3} d(E, a) = 4 $ $ \frac{10}{3} d(E, a) = 4 $ $ d(E, a) = \frac{4 \cdot 3}{10} = \frac{12}{10} = 1,2 $

Тогда второе расстояние равно: $ d(E, b) = 4 - d(E, a) = 4 - 1,2 = 2,8 $

Проверка: $\frac{1,2}{2,8} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$. Все верно.

Ответ: расстояние от точки $E$ до прямой $a$ равно 1,2; расстояние от точки $E$ до прямой $b$ равно 2,8.