Номер 0.1, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.1. Дана плоскость $\alpha$ и пересекающий ее отрезок $\text{AB}$. Прямые, проходящие через концы этого отрезка, перпендикулярны плоскости $\alpha$ и пересекают ее в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Найдите расстояние от середины отрезка $\text{AB}$ до плоскости $\alpha$, если:

1) $AA_1 = 5 \text{ см}$, $BB_1 = 7 \text{ см}$;

2) $AA_1 = 12 \text{ мм}$, $BB_1 = 8 \text{ мм}$.

Для решения этой задачи воспользуемся методом координат. Пусть плоскость $ \alpha $ совпадает с координатной плоскостью $ Oxy $, то есть ее уравнение $ z=0 $. Ось $ Oz $ перпендикулярна плоскости $ \alpha $.

Пусть координаты концов отрезка равны $ A(x_A, y_A, z_A) $ и $ B(x_B, y_B, z_B) $. Прямые, проходящие через концы отрезка, перпендикулярны плоскости $ \alpha $, значит они параллельны оси $ Oz $. Точки $ A_1 $ и $ B_1 $ являются проекциями точек $ A $ и $ B $ на плоскость $ \alpha $, поэтому их координаты $ A_1(x_A, y_A, 0) $ и $ B_1(x_B, y_B, 0) $.

Длины отрезков $ AA_1 $ и $ BB_1 $ представляют собой расстояния от точек $ A $ и $ B $ до плоскости $ \alpha $. Эти расстояния равны модулям аппликат (координат $ z $) точек: $ AA_1 = |z_A| $ и $ BB_1 = |z_B| $.

По условию, отрезок $ AB $ пересекает плоскость $ \alpha $. Это означает, что его концы, точки $ A $ и $ B $, находятся по разные стороны от плоскости. Следовательно, их аппликаты $ z_A $ и $ z_B $ имеют противоположные знаки. Пусть, для определенности, $ z_A > 0 $ и $ z_B < 0 $. Тогда $ AA_1 = z_A $ и $ BB_1 = -z_B $.

Пусть $ M $ — середина отрезка $ AB $. Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов: $ M\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right) $

Расстояние от точки $ M $ до плоскости $ \alpha $ (плоскости $ z=0 $) равно модулю ее аппликаты $ z_M $: $ d = |z_M| = \left|\frac{z_A+z_B}{2}\right| $

Подставим выражения для $ z_A $ и $ z_B $ через известные длины $ AA_1 $ и $ BB_1 $: $ z_A = AA_1 $ и $ z_B = -BB_1 $. $ d = \left|\frac{AA_1 - BB_1}{2}\right| = \frac{|AA_1 - BB_1|}{2} $

Теперь применим эту формулу для каждого из случаев.

1) Дано $ AA_1 = 5 $ см, $ BB_1 = 7 $ см.

Найдем расстояние $ d $ от середины отрезка $ AB $ до плоскости $ \alpha $: $ d = \frac{|5 - 7|}{2} = \frac{|-2|}{2} = \frac{2}{2} = 1 $ см.

Ответ: 1 см.

2) Дано $ AA_1 = 12 $ мм, $ BB_1 = 8 $ мм.

Найдем расстояние $ d $ от середины отрезка $ AB $ до плоскости $ \alpha $: $ d = \frac{|12 - 8|}{2} = \frac{|4|}{2} = \frac{4}{2} = 2 $ мм.

Ответ: 2 мм.