Номер 0.5, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.5. Плоскости $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ попарно пересекаются по прямым $\text{a}$, $\text{b}$, $\text{c}$ и $\text{a}\parallel b$, $b \parallel c$. Постройте соответствующий рисунок.

Согласно условию задачи, даны три плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, которые попарно пересекаются. Линии их пересечения обозначены как $a$, $b$ и $c$. Установим соответствие:

• Пересечение плоскостей $\alpha$ и $\beta$ — прямая $a$ (что записывается как $\alpha \cap \beta = a$).
• Пересечение плоскостей $\beta$ и $\gamma$ — прямая $b$ ($\beta \cap \gamma = b$).
• Пересечение плоскостей $\alpha$ и $\gamma$ — прямая $c$ ($\alpha \cap \gamma = c$).

Из условия также известно, что прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$) и прямая $b$ параллельна прямой $c$ ($b \parallel c$).

Для определения взаимного расположения всех трех прямых воспользуемся свойством транзитивности параллельных прямых в пространстве. Оно гласит: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Поскольку $a \parallel b$ и $c \parallel b$ (из $b \parallel c$ следует $c \parallel b$), то отсюда следует, что $a \parallel c$.

Таким образом, все три линии попарного пересечения плоскостей параллельны друг другу: $a \parallel b \parallel c$.

Этот же вывод можно сделать, опираясь на теорему о трех пересекающихся плоскостях: если три плоскости попарно пересекаются, то линии их пересечения либо все параллельны, либо все пересекаются в одной точке. Так как по условию прямые $a$ и $b$ параллельны, то они не могут пересекаться в одной точке. Следовательно, единственный возможный случай — все три прямые $a, b, c$ параллельны.

Для построения соответствующего рисунка нужно изобразить три плоскости, которые пересекаются по трем параллельным прямым. Такая конфигурация в пространстве напоминает три смежные боковые грани бесконечной треугольной призмы.

На рисунке показаны плоскости $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и параллельные прямые их попарного пересечения $a$, $b$, $c$.

Ответ: На основании условия, что линии пересечения попарно параллельны ($a \parallel b$ и $b \parallel c$), можно сделать вывод, что все три линии пересечения $a, b, c$ параллельны друг другу. Соответствующий рисунок, иллюстрирующий такое расположение плоскостей, представлен выше.