Номер 0.4, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.4. Известно, что точки $\text{P}$ и $\text{Q}$ принадлежат плоскости $\alpha$, точки $\text{Q}$ и $\text{R}$ принадлежат плоскости $\beta$, а точки $\text{P}$, $\text{Q}$, $\text{R}$ принадлежат плоскости $\gamma$. Постройте соответствующий рисунок.

Для решения задачи проанализируем данные условия и применим основные аксиомы и теоремы стереометрии. Известно, что:

– точки $P$ и $Q$ принадлежат плоскости $\alpha$ ($P \in \alpha, Q \in \alpha$);

– точки $Q$ и $R$ принадлежат плоскости $\beta$ ($Q \in \beta, R \in \beta$);

– точки $P$, $Q$ и $R$ принадлежат плоскости $\gamma$ ($P \in \gamma, Q \in \gamma, R \in \gamma$).

Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Исходя из этого:

– Из $P \in \alpha$ и $Q \in \alpha$ следует, что вся прямая $PQ$ лежит в плоскости $\alpha$ ($PQ \subset \alpha$).

– Из $Q \in \beta$ и $R \in \beta$ следует, что вся прямая $QR$ лежит в плоскости $\beta$ ($QR \subset \beta$).

– Поскольку все три точки $P, Q, R$ лежат в плоскости $\gamma$, то и прямые $PQ$ и $QR$ также лежат в плоскости $\gamma$ ($PQ \subset \gamma$ и $QR \subset \gamma$).

Таким образом, можно определить взаимное расположение плоскостей. Если две плоскости имеют общую прямую, они пересекаются по этой прямой.

– Плоскости $\alpha$ и $\gamma$ имеют общую прямую $PQ$, следовательно, $\alpha \cap \gamma = PQ$.

– Плоскости $\beta$ и $\gamma$ имеют общую прямую $QR$, следовательно, $\beta \cap \gamma = QR$.

– Плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $Q$, следовательно, они пересекаются по прямой, проходящей через точку $Q$.

При построении рисунка необходимо рассмотреть два возможных случая расположения точек $P, Q, R$.

Случай 1: Точки P, Q, R не лежат на одной прямой (неколлинеарны).

Это наиболее общий случай. Три плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ имеют одну общую точку $Q$. Линии их попарного пересечения ($PQ$, $QR$ и третья прямая, являющаяся пересечением $\alpha$ и $\beta$) проходят через эту точку, образуя трехгранный угол с вершиной в $Q$. Плоскость $\gamma$ содержит угол $\angle PQR$, плоскость $\alpha$ проходит через его сторону $PQ$, а плоскость $\beta$ — через сторону $QR$. Рисунок для этого случая представлен ниже.

Случай 2: Точки P, Q, R лежат на одной прямой (коллинеарны).

В этом случае все три точки лежат на одной прямой $l$. Тогда, поскольку каждая пара точек определяет принадлежность прямой плоскости, получается, что прямая $l$ принадлежит всем трем плоскостям: $l \subset \alpha$, $l \subset \beta$ и $l \subset \gamma$. Таким образом, все три плоскости $\alpha, \beta, \gamma$ проходят через одну общую прямую $l$. Такое расположение плоскостей называется пучком плоскостей. На рисунке это будет выглядеть как три плоскости, пересекающиеся по одной прямой, подобно страницам раскрытой книги.

Поскольку в условии не указано, что точки коллинеарны, обычно подразумевается и изображается более общий, первый случай.

Ответ: Рисунок представляет собой три плоскости $\alpha, \beta, \gamma$, проходящие через общую точку $Q$. В общем случае, когда точки $P, Q, R$ не лежат на одной прямой, плоскости попарно пересекаются по прямым $PQ$, $QR$ и третьей прямой, также проходящей через $Q$, образуя трехгранный угол. Если же точки $P, Q, R$ лежат на одной прямой, то все три плоскости пересекаются по этой общей прямой. Выше представлен рисунок для общего случая неколлинеарных точек.