Номер 20, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

20. Как определить скалярное произведение векторов? Как определить угол между векторами?

Как определить скалярное произведение векторов?

Скалярное произведение двух векторов можно определить двумя основными способами: геометрически (если известны длины векторов и угол между ними) и алгебраически (если известны координаты векторов).

1. Геометрическое определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла $\alpha$ между ними.

Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение по определению равно нулю.

2. Алгебраическое определение. В прямоугольной декартовой системе координат скалярное произведение векторов $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$ равно сумме произведений их соответствующих координат.

Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Эти два определения эквивалентны. Из них следует важное свойство: два ненулевых вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, так как $\cos(90^\circ) = 0$.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это число, определяемое по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами, или, в координатах, $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

Как определить угол между векторами?

Угол между двумя ненулевыми векторами определяется на основе формулы скалярного произведения. Из геометрического определения скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$ можно выразить косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Косинус угла $\alpha$ равен отношению скалярного произведения векторов к произведению их длин (модулей):

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Чтобы найти сам угол $\alpha$, нужно взять арккосинус от полученного значения. Угол между векторами по определению находится в диапазоне от $0$ до $\pi$ радиан (или от $0^\circ$ до $180^\circ$).

$\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right)$

Для практических вычислений, если векторы заданы своими координатами $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$, формула для вычисления угла принимает вид:

$\alpha = \arccos\left(\frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}\right)$

Здесь числитель — это скалярное произведение в координатах, а знаменатель — произведение длин векторов, где длина вектора $\vec{v} = \{v_x; v_y; v_z\}$ вычисляется как $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$.

Ответ: Угол $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется из формулы для косинуса этого угла: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.