Номер 13, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

13. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей и докажите его.

Признак перпендикулярности плоскостей

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Доказательство

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, которая перпендикулярна плоскости $\beta$. Требуется доказать, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$).

Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Так как прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$, она пересекает эту плоскость в некоторой точке $A$. Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, точка $A$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $A$ принадлежит линии пересечения плоскостей, то есть $A \in c$.

По определению, угол между плоскостями равен линейному углу соответствующего двугранного угла. Для нахождения этого угла необходимо построить две прямые, перпендикулярные линии пересечения плоскостей $c$ в точке $A$, лежащие в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

1. В плоскости $\alpha$ уже есть прямая $a$, проходящая через точку $A$. Докажем, что она перпендикулярна прямой $c$. По условию, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$). По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения. Прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через точку $A$, следовательно, $a \perp c$.

2. В плоскости $\beta$ проведем через точку $A$ прямую $b$ перпендикулярно прямой $c$ ($b \perp c$).

Таким образом, угол между прямыми $a$ и $b$ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Найдем величину этого угла. По условию, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$. Прямая $b$ по построению лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$). Следовательно, по определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ ($a \perp b$). Это означает, что угол между прямыми $a$ и $b$ равен $90^\circ$.

Так как линейный угол двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен $90^\circ$, то по определению перпендикулярных плоскостей, плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: признак перпендикулярности плоскостей заключается в следующем: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.