Номер 8, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8. Докажите параллельность прямых, перпендикулярных одной плоскости.

Для доказательства этого утверждения, которое является одной из основных теорем стереометрии, воспользуемся методом от противного.

Сформулируем теорему:

Две различные прямые в пространстве, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.

Пусть даны две различные прямые a и b, и плоскость $\alpha$.

Дано: $a \perp \alpha$, $b \perp \alpha$, $a \neq b$.

Доказать: $a \parallel b$.

Доказательство:

Предположим, что прямые a и b не параллельны. В трехмерном пространстве две различные прямые, которые не являются параллельными, могут либо пересекаться, либо быть скрещивающимися. Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: Прямые a и b пересекаются.

Допустим, прямые a и b пересекаются в некоторой точке M. В таком случае, через точку M проходят две разные прямые (a и b), и каждая из них, по условию, перпендикулярна плоскости $\alpha$. Это contradicts a fundamental theorem of solid geometry, which states that through any point in space, there is one and only one line perpendicular to a given plane. Таким образом, наше предположение о том, что прямые a и b могут пересекаться, является ложным.

Случай 2: Прямые a и b являются скрещивающимися.

Теперь предположим, что прямые a и b скрещиваются. Докажем, что это также приводит к противоречию. Выберем на прямой b произвольную точку N. Через эту точку N проведем прямую a', которая будет параллельна прямой a (такое построение всегда возможно и единственно).

Далее воспользуемся леммой: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Поскольку по условию $a \perp \alpha$ и по нашему построению $a' \parallel a$, из этой леммы следует, что прямая $a'$ также перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a' \perp \alpha$).

Таким образом, мы получили, что через точку N проходят две прямые — b (по условию) и a' (по нашему доказательству) — и обе они перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$. Как мы уже установили в первом случае, это противоречит теореме о единственности перпендикуляра, проведенного из данной точки к плоскости. Это означает, что прямые a' и b должны совпадать.

Но прямая a' была построена параллельно прямой a. Если прямая b совпадает с прямой a', то это означает, что прямая b параллельна прямой a ($b \parallel a$).

Это утверждение противоречит нашему исходному предположению для этого случая — что прямые a и b являются скрещивающимися (то есть непараллельными).

Вывод:

Мы рассмотрели все возможные варианты, вытекающие из предположения, что прямые a и b не параллельны, и в каждом случае пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Единственно возможный вариант — прямые a и b параллельны.

Ответ: Параллельность прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости, доказана. Если $a \perp \alpha$ и $b \perp \alpha$, то $a \parallel b$, что и требовалось доказать.