Номер 11, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

11. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах и докажите ее.

Формулировка теоремы о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и ее проекции.

Доказательство (прямой теоремы)

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не принадлежащая ей. Проведем из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к плоскости $\alpha$ и наклонную $AM$. Отрезок $HM$ является проекцией наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$. В плоскости $\alpha$ через точку $M$ проведем прямую $a$ так, что $a \perp HM$. Нам нужно доказать, что $a \perp AM$.

Дано:

$AH \perp \alpha$

$AM$ — наклонная

$HM$ — проекция $AM$ на $\alpha$

$M \in a$, $a \subset \alpha$

$a \perp HM$

Доказать:

$a \perp AM$

Доказательство:

1. Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то по определению перпендикуляра к плоскости, прямая $AH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то $AH \perp a$.

2. По условию теоремы нам дано, что прямая $a$ перпендикулярна проекции $HM$: $a \perp HM$.

3. Таким образом, прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым — $AH$ и $HM$. Эти прямые пересекаются в точке $H$ и определяют плоскость $AHM$.

4. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости. Следовательно, $a \perp \text{пл. }AHM$.

5. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Наклонная $AM$ лежит в плоскости $AHM$ ($AM \subset \text{пл. }AHM$).

6. Следовательно, прямая $a$ перпендикулярна наклонной $AM$, то есть $a \perp AM$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Теорема о трех перпендикулярах сформулирована и доказана. Формулировка теоремы: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.