Номер 15, страница 4 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

15. Какими свойствами обладает параллельное проектирование?

Параллельное проектирование — это метод изображения пространственных фигур на плоскости (плоскости проекций). Он задается направлением проектирования — некоторой прямой, пересекающей плоскость проекций. Проекцией каждой точки фигуры является точка пересечения прямой, проходящей через исходную точку параллельно направлению проектирования, с плоскостью проекций. Параллельное проектирование обладает следующими основными свойствами:

1. Свойство проекции прямой

Проекцией прямой является прямая. Исключение составляет случай, когда сама прямая параллельна направлению проектирования. В этой ситуации все точки прямой проецируются в одну точку, и её проекцией является точка.

Ответ: Проекцией прямой является прямая (если она не параллельна направлению проектирования) или точка (если она параллельна направлению проектирования).

2. Свойство сохранения параллельности

Если две прямые в пространстве параллельны, то их параллельные проекции на плоскость также параллельны между собой или совпадают. Это свойство выполняется, если исходные прямые не параллельны направлению проектирования.

Ответ: Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают (при условии, что исходные прямые не параллельны направлению проектирования).

3. Свойство сохранения отношения длин отрезков

При параллельном проектировании сохраняется отношение длин отрезков, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это означает, что если точка $C$ делит отрезок $AB$ в определенном отношении, то ее проекция $C'$ делит проекцию отрезка $A'B'$ в том же самом отношении. Формально: $ \frac{AC}{CB} = \frac{A'C'}{C'B'} $. Частным, но важным случаем этого свойства является то, что середина отрезка всегда проецируется в середину проекции этого отрезка.

Ответ: Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, при параллельном проектировании сохраняется.

4. Свойство сохранения вида некоторых фигур

Параллельная проекция сохраняет принадлежность точек прямой, а значит, и вид некоторых фигур. Например, проекцией треугольника является треугольник (или отрезок), проекцией параллелограмма — параллелограмм (или отрезок). Однако важно отметить, что метрические свойства, такие как длины отрезков (кроме их отношения на параллельных прямых) и величины углов, в общем случае не сохраняются. Например, квадрат может спроецироваться в произвольный параллелограмм.

Ответ: Параллельная проекция сохраняет вид некоторых многоугольников (например, треугольник остается треугольником, параллелограмм — параллелограммом), но, как правило, не сохраняет их метрические характеристики, такие как длины сторон и углы.