Номер 18, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

18. Дайте определение вектора в пространстве. Какие действия применяются к векторам? Сформулируйте правило параллелепипеда для трех некомпланарных векторов.

Определение вектора в пространстве

Вектором в пространстве (или просто вектором) называется направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Если $A$ — начало вектора, а $B$ — его конец, то вектор обозначается как $\vec{AB}$. Векторы также могут обозначаться одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней, например, $\vec{a}$.

Основные характеристики вектора:

1. Длина (модуль) вектора — это расстояние между его началом и концом. Модуль вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$ или $||\vec{a}||$.

2. Направление вектора — определяется лучом, на котором лежит вектор, и его ориентацией от начала к концу.

Нулевой вектор ($\vec{0}$) — это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено.

Ответ: Вектор в пространстве — это направленный отрезок, характеризующийся длиной (модулем) и направлением.

Какие действия применяются к векторам?

К векторам применяются как линейные операции, так и различные виды произведений:

1. Сложение векторов. Суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, который можно найти по правилу треугольника (если от конца вектора $\vec{a}$ отложить вектор $\vec{b}$, то суммирующий вектор $\vec{c}$ соединит начало вектора $\vec{a}$ с концом вектора $\vec{b}$) или по правилу параллелограмма (если векторы отложены из одной точки, их сумма — это диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из той же точки).

2. Вычитание векторов. Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является вектор $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$, который равен сумме вектора $\vec{a}$ и вектора $(-\vec{b})$, противоположного вектору $\vec{b}$.

3. Умножение вектора на скаляр (число). Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число $k \ne 0$ называется вектор $k\vec{a}$, длина которого равна $|k||\vec{a}|$, а направление совпадает с направлением $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно ему при $k < 0$. Если $k=0$ или $\vec{a}=\vec{0}$, то произведение равно нулевому вектору.

4. Скалярное произведение векторов. Результатом является скаляр (число). Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно произведению их длин на косинус угла $\alpha$ между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\alpha$.

5. Векторное произведение векторов (только для векторов в 3D-пространстве). Результатом является вектор. Векторное произведение $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ — это вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, его длина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах ($|\vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\alpha$), а направление определяется по правилу правой руки.

6. Смешанное произведение векторов (только для векторов в 3D-пространстве). Результатом является скаляр. Это скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий: $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$. Его модуль равен объему параллелепипеда, построенного на этих трех векторах.

Ответ: К векторам применяются сложение, вычитание, умножение на скаляр, а также скалярное, векторное и смешанное произведения.

Сформулируйте правило параллелепипеда для трех некомпланарных векторов

Правило параллелепипеда используется для нахождения суммы трех некомпланарных векторов (т.е. векторов, не лежащих в одной плоскости).

Формулировка правила:

Если три некомпланарных вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ отложены от одной общей точки (начала), то их сумма представляет собой вектор $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$, который совпадает с диагональю параллелепипеда, построенного на этих трех векторах как на ребрах, и исходящей из той же общей точки.

Геометрически: 1. Приведем векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ к общему началу, например, точке $O$. Получим векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$.

2. Построим на этих трех векторах как на ребрах параллелепипед.

3. Диагональ этого параллелепипеда, идущая из общего начала $O$ в противоположную вершину $D$, и будет являться вектором суммы: $\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$.

Ответ: Сумма трех некомпланарных векторов, отложенных от одной точки, равна вектору, совпадающему с диагональю параллелепипеда, построенного на этих векторах, и проведенной из той же точки.