Номер 0.17, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.17. Параллельные прямые, проходящие через вершины параллелограмма $ABCD$, пересекают некоторую плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ соответственно, точки $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$ расположены по одну сторону плоскости $\alpha$. Найдите отрезок $DD_1$, если:

1) $AA_1 = 4$ м, $BB_1 = 5$ м, $CC_1 = 6$ м;

2) $AA_1 = a$, $BB_1 = b$, $CC_1 = c$.

Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. По свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$.

По условию, через вершины параллелограмма проходят параллельные прямые $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$, которые пересекают плоскость $\alpha$. Это означает, что четырехугольники $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ являются трапециями, так как их боковые стороны $AA_1$ и $CC_1$ (а также $BB_1$ и $DD_1$) параллельны, а $AC$ и $A_1C_1$ (соответственно $BD$ и $B_1D_1$) в общем случае не параллельны.

Проведем через точку $O$ прямую, параллельную $AA_1$, и пусть она пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O_1$. Таким образом, $OO_1 \parallel AA_1 \parallel CC_1$. В трапеции $ACC_1A_1$ отрезок $OO_1$ соединяет середину стороны $AC$ (которая является диагональю трапеции) с прямой $A_1C_1$, и при этом $OO_1$ параллелен основаниям $AA_1$ и $CC_1$. Длина такого отрезка равна полусумме длин оснований. Таким образом: $OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}$

Аналогично, рассмотрим трапецию $BDD_1B_1$. Точка $O$ является серединой стороны $BD$. Отрезок $OO_1$ также параллелен основаниям $BB_1$ и $DD_1$. Его длина равна полусумме длин этих оснований: $OO_1 = \frac{BB_1 + DD_1}{2}$

Так как мы получили два выражения для длины одного и того же отрезка $OO_1$, мы можем их приравнять: $\frac{AA_1 + CC_1}{2} = \frac{BB_1 + DD_1}{2}$ Умножив обе части на 2, получим важное свойство: $AA_1 + CC_1 = BB_1 + DD_1$

Это равенство означает, что сумма расстояний от противоположных вершин параллелограмма до плоскости (измеренных вдоль параллельных прямых) одинакова для обеих пар вершин.

Из этого равенства выразим искомую длину отрезка $DD_1$: $DD_1 = AA_1 + CC_1 - BB_1$

Теперь мы можем использовать эту формулу для решения обоих пунктов задачи.

1) Найти $DD_1$, если $AA_1 = 4$ м, $BB_1 = 5$ м, $CC_1 = 6$ м.

Подставим числовые значения в выведенную формулу: $DD_1 = 4 + 6 - 5 = 10 - 5 = 5$ м.

Ответ: 5 м.

2) Найти $DD_1$, если $AA_1 = a$, $BB_1 = b$, $CC_1 = c$.

Подставим буквенные значения в формулу: $DD_1 = a + c - b$.

Ответ: $a + c - b$.