Номер 0.20, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.20. В треугольнике $ABC$ стороны $AC=BC=10$ см, $\angle B = 30^\circ$. Прямая $\text{BD}$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$ и $BD=5$ см. Найдите расстояние от точки $\text{D}$ до прямой $\text{AC}$ и от точки $\text{B}$ до плоскости $ADC$.

Расстояние от точки D до прямой AC

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

В плоскости треугольника $ABC$ проведем высоту $BK$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Таким образом, $BK \perp AC$.

По условию, прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$ ($BD \perp (ABC)$). По теореме о трех перпендикулярах, так как $BD$ — перпендикуляр к плоскости, $DK$ — наклонная, а $BK$ — ее проекция на плоскость $ABC$, и при этом $BK \perp AC$, то и сама наклонная $DK$ перпендикулярна прямой $AC$. Следовательно, длина отрезка $DK$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник $DBK$. Так как $BD \perp (ABC)$, то $BD$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, значит $\angle DBK = 90^\circ$. Треугольник $DBK$ является прямоугольным, и по теореме Пифагора: $DK = \sqrt{BD^2 + BK^2}$.

Для вычисления нам нужно найти длину $BK$. В треугольнике $ABC$ дано $AC = BC = 10$ см, значит, он равнобедренный с основанием $AB$. Углы при основании равны, поэтому $\angle A = \angle B = 30^\circ$. Тогда третий угол $\angle C = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

Найдем высоту $BK$ через площадь треугольника $ABC$.

Площадь $S_{ABC}$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(120^\circ) = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$ см$^2$.

С другой стороны, $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BK$. Приравняв выражения, получим:

$25\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot BK \implies 25\sqrt{3} = 5 \cdot BK \implies BK = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти $DK$, зная $BD = 5$ см и $BK = 5\sqrt{3}$ см:

$DK = \sqrt{5^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 75} = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

Расстояние от точки B до плоскости ADC

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Для нахождения этого расстояния (обозначим его $h$) воспользуемся методом объемов для тетраэдра $ABCD$.

Объем тетраэдра $V$ можно вычислить, приняв за основание треугольник $ABC$. В этом случае высотой будет отрезок $BD$, так как по условию $BD \perp (ABC)$.

$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot BD = \frac{1}{3} \cdot 25\sqrt{3} \cdot 5 = \frac{125\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Тот же объем можно выразить, приняв за основание треугольник $ADC$. Тогда высотой будет искомое расстояние $h$ от точки $B$ до плоскости $ADC$.

$V = \frac{1}{3} S_{ADC} \cdot h$.

Приравняем два выражения для объема:

$\frac{1}{3} S_{ADC} \cdot h = \frac{125\sqrt{3}}{3} \implies h = \frac{125\sqrt{3}}{S_{ADC}}$.

Найдем площадь треугольника $ADC$. Его основание $AC = 10$ см. В первой части решения мы установили, что $DK$ является высотой этого треугольника, проведенной к стороне $AC$, и ее длина $DK = 10$ см.

$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ см$^2$.

Теперь подставим найденную площадь в формулу для $h$:

$h = \frac{125\sqrt{3}}{50} = \frac{5 \cdot 25 \sqrt{3}}{2 \cdot 25} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.