Номер 0.19, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.19. Из точки, расположенной на расстоянии 8 см от плоскости, проведены две наклонные, образующие с этой плоскостью углы, равные $45^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если угол между их проекциями равен $120^\circ$.

Пусть точка $M$ расположена вне плоскости $\alpha$. Расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $O$. Таким образом, $MO$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, и длина отрезка $MO$ равна 8 см.

Из точки $M$ проведены две наклонные. Обозначим их $MA$ и $MB$, где $A$ и $B$ — основания наклонных, лежащие в плоскости $\alpha$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются проекциями наклонных $MA$ и $MB$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость. По условию, углы, которые образуют наклонные с плоскостью, равны $45^\circ$. Следовательно, $\angle MAO = 45^\circ$ и $\angle MBO = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MOA$. Так как $MO \perp \alpha$, то $MO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. Значит, $\angle MOA = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle MOA$ — прямоугольный треугольник. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle AMO = 90^\circ - \angle MAO = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку углы при основании $MA$ равны, треугольник $\triangle MOA$ является равнобедренным, и $OA = MO = 8$ см.

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOB$ ($\angle MOB = 90^\circ$). Угол $\angle MBO = 45^\circ$, следовательно, $\triangle MOB$ также является равнобедренным, и $OB = MO = 8$ см.

Теперь мы имеем две проекции $OA$ и $OB$, длины которых равны 8 см. По условию, угол между этими проекциями $\angle AOB = 120^\circ$. Требуется найти расстояние между основаниями наклонных, то есть длину отрезка $AB$.

Для нахождения длины стороны $AB$ в треугольнике $\triangle AOB$ воспользуемся теоремой косинусов: $AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

Подставим известные значения: $AB^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(120^\circ) = -0.5$. $AB^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 64 \cdot (-0.5)$ $AB^2 = 128 - 128 \cdot (-0.5)$ $AB^2 = 128 + 64$ $AB^2 = 192$

Теперь найдем $AB$, извлекая квадратный корень: $AB = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Ответ: Расстояние между основаниями наклонных равно $8\sqrt{3}$ см.