Номер 0.28, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.28* Точка $\text{O}$ расположена вне плоскости треугольника $ABC$. Плоскость, параллельная плоскости $ABC$, пересекает отрезки $\text{OA}$, $\text{OB}$ и $\text{OC}$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения медиан треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, также проходит через точку $\text{O}$.

Доказательство:

Введем систему координат с началом в точке $O$. Тогда точки $A, B, C$ будут иметь соответствующие радиус-векторы $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$ и $\vec{c} = \vec{OC}$.

Пусть плоскость, параллельная плоскости $ABC$, называется $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ пересекает отрезки $OA, OB, OC$ в точках $A_1, B_1, C_1$ соответственно. Это означает, что треугольник $A_1B_1C_1$ является результатом гомотетии (преобразования подобия) треугольника $ABC$ с центром в точке $O$.

Действительно, рассмотрим плоскость $OAB$. Она пересекает две параллельные плоскости ($ABC$ и $\alpha$) по прямым $AB$ и $A_1B_1$. Следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$. Из подобия треугольников $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OAB$ следует, что существует коэффициент подобия $k$ такой, что:

$\frac{OA_1}{OA} = \frac{OB_1}{OB} = k$

Аналогично, рассмотрев плоскости $OBC$ и $OAC$, получим:

$\frac{OB_1}{OB} = \frac{OC_1}{OC} = k$

$\frac{OA_1}{OA} = \frac{OC_1}{OC} = k$

Таким образом, для радиус-векторов точек $A_1, B_1, C_1$ выполняются соотношения:

$\vec{OA_1} = k \cdot \vec{OA} = k\vec{a}$

$\vec{OB_1} = k \cdot \vec{OB} = k\vec{b}$

$\vec{OC_1} = k \cdot \vec{OC} = k\vec{c}$

Пусть $M$ – точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$. Ее радиус-вектор $\vec{OM}$ равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин:

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

Пусть $M_1$ – точка пересечения медиан треугольника $A_1B_1C_1$. Ее радиус-вектор $\vec{OM_1}$ вычисляется аналогично:

$\vec{OM_1} = \frac{\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1}}{3}$

Подставим выражения для векторов $\vec{OA_1}, \vec{OB_1}, \vec{OC_1}$:

$\vec{OM_1} = \frac{k\vec{a} + k\vec{b} + k\vec{c}}{3} = k \cdot \left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\right)$

Заменяя выражение в скобках на $\vec{OM}$, получаем:

$\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM}$

Это векторное равенство означает, что вектор $\vec{OM_1}$ коллинеарен вектору $\vec{OM}$. Поскольку оба вектора отложены от одной и той же точки $O$, точки $O, M$ и $M_1$ лежат на одной прямой.

Следовательно, прямая, проходящая через точки пересечения медиан треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ (то есть через точки $M$ и $M_1$), также проходит через точку $O$.

Ответ: Что и требовалось доказать.