Номер 1.4, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.4. Футбольный мяч имеет форму многогранника, имеющего 32 грани, из которых 20 – правильные шестиугольники, 12 – правильные пятиугольники (рис. 1.11). Сколько вершин имеет этот многогранник?

Рис. 1.11

Для решения данной задачи воспользуемся формулой Эйлера для выпуклых многогранников, которая устанавливает соотношение между количеством вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г):

$В - Р + Г = 2$

Чтобы найти количество вершин, нам необходимо последовательно определить количество граней и рёбер многогранника.

1. Нахождение общего количества граней (Г)

Согласно условию, футбольный мяч имеет 20 граней в виде правильных шестиугольников и 12 граней в виде правильных пятиугольников. Общее количество граней является их суммой:

$Г = 20 + 12 = 32$

2. Нахождение общего количества рёбер (Р)

Каждый из 20 шестиугольников имеет 6 сторон (рёбер), а каждый из 12 пятиугольников — 5 сторон. Если мы посчитаем сумму сторон всех граней по отдельности, то получим $20 \cdot 6 + 12 \cdot 5 = 120 + 60 = 180$ сторон. В собранном многограннике каждое ребро является общим для двух смежных граней. Поэтому, чтобы найти истинное число рёбер, необходимо полученную сумму разделить на 2:

$Р = \frac{(20 \cdot 6) + (12 \cdot 5)}{2} = \frac{120 + 60}{2} = \frac{180}{2} = 90$

Таким образом, у многогранника 90 рёбер.

3. Нахождение количества вершин (В)

Теперь у нас есть все необходимые данные для использования формулы Эйлера: $Г = 32$ и $Р = 90$. Подставим эти значения в формулу:

$В - Р + Г = 2$

$В - 90 + 32 = 2$

$В - 58 = 2$

Решая уравнение относительно В, получаем:

$В = 2 + 58 = 60$

Следовательно, этот многогранник имеет 60 вершин.

Ответ: 60