Номер 1.5, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.5. Существует ли трехгранный угол, плоские углы при вершине которого равны:

1) $140^\circ$, $86^\circ$ и $38^\circ$;

2) $110^\circ$, $80^\circ$ и $42^\circ$;

3) $160^\circ$, $130^\circ$ и $82^\circ$;

4) $160^\circ$, $130^\circ$ и $80^\circ$?

Для того чтобы трехгранный угол с плоскими углами при вершине $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ существовал, должны одновременно выполняться два условия:

1. Каждый плоский угол должен быть меньше суммы двух других (например, $\alpha < \beta + \gamma$). Это условие достаточно проверить для наибольшего угла.
2. Сумма всех трех плоских углов должна быть меньше $360^\circ$ ($\alpha + \beta + \gamma < 360^\circ$).

Проверим эти условия для каждого случая.

1) 140°, 86° и 38°

Проверим условия для углов $140^\circ, 86^\circ$ и $38^\circ$.

1. Неравенство плоских углов: наибольший угол должен быть меньше суммы двух других. Наибольший угол равен $140^\circ$. Сумма двух других: $86^\circ + 38^\circ = 124^\circ$. Условие $140^\circ < 124^\circ$ не выполняется.

Поскольку первое условие не выполнено, такой трехгранный угол не существует.

Ответ: не существует.

2) 110°, 80° и 42°

Проверим условия для углов $110^\circ, 80^\circ$ и $42^\circ$.

1. Неравенство плоских углов: наибольший угол $110^\circ$. Сумма двух других: $80^\circ + 42^\circ = 122^\circ$. Условие $110^\circ < 122^\circ$ выполняется.

2. Сумма плоских углов: $110^\circ + 80^\circ + 42^\circ = 232^\circ$. Условие $232^\circ < 360^\circ$ выполняется.

Оба условия выполнены, следовательно, такой трехгранный угол существует.

Ответ: существует.

3) 160°, 130° и 82°

Проверим условия для углов $160^\circ, 130^\circ$ и $82^\circ$.

1. Неравенство плоских углов: наибольший угол $160^\circ$. Сумма двух других: $130^\circ + 82^\circ = 212^\circ$. Условие $160^\circ < 212^\circ$ выполняется.

2. Сумма плоских углов: $160^\circ + 130^\circ + 82^\circ = 372^\circ$. Условие $372^\circ < 360^\circ$ не выполняется.

Поскольку второе условие не выполнено, такой трехгранный угол не существует.

Ответ: не существует.

4) 160°, 130° и 80°

Проверим условия для углов $160^\circ, 130^\circ$ и $80^\circ$.

1. Неравенство плоских углов: наибольший угол $160^\circ$. Сумма двух других: $130^\circ + 80^\circ = 210^\circ$. Условие $160^\circ < 210^\circ$ выполняется.

2. Сумма плоских углов: $160^\circ + 130^\circ + 80^\circ = 370^\circ$. Условие $370^\circ < 360^\circ$ не выполняется.

Поскольку второе условие не выполнено, такой трехгранный угол не существует.

Ответ: не существует.