Номер 1.13, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.13. Две грани трехгранного угла взаимно перпендикулярны, а плоские углы при вершине этих граней равны $45^\circ$. Найдите плоский угол третьей грани.

Пусть дан трехгранный угол с вершиной в точке $S$ и ребрами $Sa$, $Sb$, $Sc$. Две грани, $(Sa,Sc)$ и $(Sb,Sc)$, взаимно перпендикулярны. Плоские углы при вершине этих граней равны $45^\circ$, то есть $\angle ASC = 45^\circ$ и $\angle BSC = 45^\circ$. Необходимо найти плоский угол третьей грани, то есть $\angle ASB$.

Для решения задачи воспользуемся методом сечений. Выберем на общем ребре $Sc$ точку $P$, отличную от $S$. Проведем через точку $P$ плоскость, перпендикулярную ребру $Sc$. Эта плоскость пересечет ребра $Sa$ и $Sb$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Поскольку плоскость $(APB)$ перпендикулярна прямой $SP$, то и прямые $AP$ и $BP$, лежащие в этой плоскости, перпендикулярны $SP$. Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника $\triangle SPA$ и $\triangle SPB$ с прямыми углами при вершине $P$.

Угол $\angle APB$ в сечении является линейным углом двугранного угла между гранями $(Sa,Sc)$ и $(Sb,Sc)$. По условию, эти грани перпендикулярны, следовательно, $\angle APB = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle APB$ является прямоугольным.

Для удобства вычислений примем длину отрезка $SP$ равной 1, то есть $SP = 1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SPA$. В нем известен катет $SP=1$ и угол $\angle ASP = 45^\circ$. Найдем длину второго катета $AP$: $AP = SP \cdot \tan(\angle ASP) = 1 \cdot \tan(45^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$. Найдем длину гипотенузы $SA$ по теореме Пифагора: $SA = \sqrt{SP^2 + AP^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SPB$. В нем катет $SP=1$ и угол $\angle BSP = 45^\circ$. Найдем длину второго катета $BP$: $BP = SP \cdot \tan(\angle BSP) = 1 \cdot \tan(45^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$. Длина гипотенузы $SB$ будет: $SB = \sqrt{SP^2 + BP^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Теперь найдем длину отрезка $AB$, который является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle APB$. Мы уже нашли его катеты: $AP=1$ и $BP=1$. По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AP^2 + BP^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Наконец, рассмотрим треугольник $\triangle ASB$. Мы нашли длины всех его сторон: $SA = \sqrt{2}$, $SB = \sqrt{2}$ и $AB = \sqrt{2}$. Чтобы найти искомый угол $\angle ASB$, применим к этому треугольнику теорему косинусов: $AB^2 = SA^2 + SB^2 - 2 \cdot SA \cdot SB \cdot \cos(\angle ASB)$ Подставим найденные значения: $(\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle ASB)$ $2 = 2 + 2 - 2 \cdot 2 \cdot \cos(\angle ASB)$ $2 = 4 - 4 \cos(\angle ASB)$ $4 \cos(\angle ASB) = 4 - 2$ $4 \cos(\angle ASB) = 2$ $\cos(\angle ASB) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Из полученного значения косинуса находим сам угол: $\angle ASB = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.