Номер 1.14, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.14. Все плоские углы при вершине $\text{O}$ трехгранного угла $OABC$ равны $90^\circ$. Найдите угол:

1) $OAB$;

2) $OBA$;

3) $OCA$;

4) $OCB$, если $OA=1$, $OB=1$ и $OC=2$.

Поскольку все плоские углы при вершине O трехгранного угла OABC равны $90^\circ$, это означает, что ребра OA, OB и OC взаимно перпендикулярны. Таким образом, мы имеем три прямоугольных треугольника: $\triangle OAB$, $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$, у каждого из которых прямой угол находится при вершине O.

1) OAB;

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAB$ (где $\angle AOB = 90^\circ$). Нам даны длины катетов: $OA = 1$ и $OB = 1$. Поскольку катеты равны, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны и составляют по $45^\circ$.

Можно также найти угол через тангенс: $\tan(\angle OAB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{OB}{OA} = \frac{1}{1} = 1$. Отсюда, $\angle OAB = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $\angle OAB = 45^\circ$.

2) OBA;

Как было установлено в предыдущем пункте, треугольник $OAB$ является равнобедренным прямоугольным. Следовательно, углы при его основании (гипотенузе AB) равны: $\angle OBA = \angle OAB$.

Таким образом, $\angle OBA = 45^\circ$.

Ответ: $\angle OBA = 45^\circ$.

3) OCA;

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAC$ (где $\angle AOC = 90^\circ$). Длины его катетов: $OA = 1$ и $OC = 2$. Чтобы найти угол $\angle OCA$, воспользуемся определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle OCA) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{OA}{OC} = \frac{1}{2}$. Следовательно, искомый угол равен арктангенсу этого значения.

Ответ: $\angle OCA = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)$.

4) ОСВ,

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBC$ (где $\angle BOC = 90^\circ$). Длины его катетов: $OB = 1$ и $OC = 2$. Чтобы найти угол $\angle OCB$, также воспользуемся определением тангенса: $\tan(\angle OCB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{OB}{OC} = \frac{1}{2}$. Следовательно, искомый угол равен арктангенсу этого значения.

Ответ: $\angle OCB = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)$.