Номер 1.30, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.30*. Определите геометрическое место точек, равноудаленных от всех ребер трехгранного угла.

Пусть $O$ — вершина трехгранного угла, а $l_1, l_2, l_3$ — его ребра, являющиеся лучами, исходящими из точки $O$. Пусть $\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}$ — единичные векторы, сонаправленные с ребрами $l_1, l_2, l_3$ соответственно. Пусть $P$ — произвольная точка в пространстве, а $\vec{p}$ — ее радиус-вектор ($\vec{p} = \vec{OP}$). Расстояние от точки $P$ до прямой, содержащей ребро $l_i$, — это длина перпендикуляра $PH_i$, опущенного из точки $P$ на эту прямую, где $H_i$ — основание этого перпендикуляра.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OPH_i$ (с прямым углом при вершине $H_i$) по теореме Пифагора имеем:

$OP^2 = OH_i^2 + PH_i^2$

Отсюда квадрат расстояния $PH_i$ можно выразить как $PH_i^2 = OP^2 - OH_i^2$.

По условию задачи, точка $P$ равноудалена от всех трех ребер, то есть $PH_1 = PH_2 = PH_3$. Возводя это равенство в квадрат, получаем $PH_1^2 = PH_2^2 = PH_3^2$. Используя выражение из теоремы Пифагора, имеем:

$OP^2 - OH_1^2 = OP^2 - OH_2^2 = OP^2 - OH_3^2$

Это равенство справедливо тогда и только тогда, когда:

$OH_1^2 = OH_2^2 = OH_3^2$, что эквивалентно $OH_1 = OH_2 = OH_3$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек — это множество всех таких точек $P$, для которых основания перпендикуляров, опущенных из них на прямые, содержащие ребра, находятся на одинаковом расстоянии от вершины $O$.

Расстояние $OH_i$ есть длина проекции вектора $\vec{OP}$ на направление ребра $l_i$. В векторной форме это записывается как:

$OH_i = |\vec{p} \cdot \vec{u_i}|$

Следовательно, условие $OH_1 = OH_2 = OH_3$ эквивалентно условию:

$|\vec{p} \cdot \vec{u_1}| = |\vec{p} \cdot \vec{u_2}| = |\vec{p} \cdot \vec{u_3}|$

Это общее равенство для модулей распадается на четыре независимых случая (с точностью до общего знака):

1. $\vec{p} \cdot \vec{u_1} = \vec{p} \cdot \vec{u_2} = \vec{p} \cdot \vec{u_3}$
2. $\vec{p} \cdot \vec{u_1} = \vec{p} \cdot \vec{u_2} = -\vec{p} \cdot \vec{u_3}$
3. $\vec{p} \cdot \vec{u_1} = -\vec{p} \cdot \vec{u_2} = \vec{p} \cdot \vec{u_3}$
4. $-\vec{p} \cdot \vec{u_1} = \vec{p} \cdot \vec{u_2} = \vec{p} \cdot \vec{u_3}$

Рассмотрим первый случай: $\vec{p} \cdot \vec{u_1} = \vec{p} \cdot \vec{u_2} = \vec{p} \cdot \vec{u_3}$. Это можно переписать в виде системы двух линейных уравнений относительно координат точки $P$:

$\vec{p} \cdot \vec{u_1} - \vec{p} \cdot \vec{u_2} = 0 \implies \vec{p} \cdot (\vec{u_1} - \vec{u_2}) = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{u_2} - \vec{p} \cdot \vec{u_3} = 0 \implies \vec{p} \cdot (\vec{u_2} - \vec{u_3}) = 0$

Каждое из этих уравнений задает плоскость, проходящую через начало координат $O$. Так как ребра трехгранного угла не компланарны, векторы $\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}$ линейно независимы. Следовательно, векторы нормалей к этим плоскостям, $(\vec{u_1} - \vec{u_2})$ и $(\vec{u_2} - \vec{u_3})$, не коллинеарны. Пересечение двух различных плоскостей, проходящих через начало координат, есть прямая, проходящая через начало координат.

Аналогично, каждый из трех остальных случаев также определяет прямую, проходящую через вершину $O$. Например, второй случай $\vec{p} \cdot \vec{u_1} = \vec{p} \cdot \vec{u_2} = -\vec{p} \cdot \vec{u_3}$ задается системой $\vec{p} \cdot (\vec{u_1} - \vec{u_2}) = 0$ и $\vec{p} \cdot (\vec{u_2} + \vec{u_3}) = 0$, которая также определяет прямую.

Таким образом, в общем случае искомое геометрическое место точек представляет собой объединение четырех прямых, пересекающихся в вершине трехгранного угла.

Ответ: Искомое геометрическое место точек есть объединение четырех прямых, проходящих через вершину трехгранного угла. Одна из этих прямых определяется условием, что скалярные произведения радиус-вектора точки на единичные векторы ребер равны между собой ($\vec{p} \cdot \vec{u_1} = \vec{p} \cdot \vec{u_2} = \vec{p} \cdot \vec{u_3}$), а три другие — различными комбинациями знаков в этих равенствах.