Вопросы, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какой многогранник называется призмой? Какие элементы призмы вы знаете? Покажите их на рисунке.

2. Что вы понимаете под прямой, наклонной и правильной призмами?

3. Как определяется площадь боковой поверхности прямой призмы?

4. Какую призму называют параллелепипедом?

5. Каким свойством обладают диагонали параллелепипеда? Докажите.

6. Какой параллелепипед называется прямым, прямоугольным?

7. Сформулируйте обобщенную теорему Пифагора и докажите ее.

1. Какой многогранник называется призмой? Какие элементы призмы вы знаете? Покажите их на рисунке.

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Эти два многоугольника называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие их соответствующие вершины, — боковыми ребрами.

Основные элементы призмы:

• Основания призмы – два равных многоугольника, расположенные в параллельных плоскостях.
• Боковые грани – грани, не являющиеся основаниями. У любой призмы они являются параллелограммами.
• Боковые ребра – отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований. Они параллельны и равны друг другу.
• Вершины призмы – вершины ее оснований.
• Высота призмы ($h$) – расстояние между плоскостями ее оснований (длина перпендикуляра, проведенного из любой точки одного основания к плоскости другого).
• Диагональ призмы – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

На рисунке ниже показана прямая пятиугольная призма и ее основные элементы:

Ответ: Призма – это многогранник с двумя равными и параллельными основаниями-многоугольниками и боковыми гранями-параллелограммами. Ее элементы включают основания, боковые грани, боковые ребра, вершины, высоту и диагонали.

В зависимости от взаимного расположения боковых ребер и оснований призмы делятся на следующие виды:

• Наклонная призма – призма, у которой боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований. Боковые грани такой призмы являются параллелограммами (в общем случае не прямоугольниками).
• Прямая призма – призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Боковые грани прямой призмы – прямоугольники. Высота прямой призмы равна длине ее бокового ребра.
• Правильная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник (например, равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник). У правильной призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

Ответ: Прямая призма имеет боковые ребра, перпендикулярные основаниям; у наклонной они не перпендикулярны. Правильная призма — это прямая призма с правильным многоугольником в основании.

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей всех ее боковых граней.

У прямой призмы все боковые грани являются прямоугольниками. Основаниями этих прямоугольников служат стороны многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны высоте призмы $h$ (которая совпадает с длиной бокового ребра).

Пусть в основании прямой призмы лежит многоугольник со сторонами $a_1, a_2, ..., a_n$. Тогда площади боковых граней равны $a_1h, a_2h, ..., a_nh$. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ будет их суммой:

$S_{бок} = a_1h + a_2h + ... + a_nh = (a_1 + a_2 + ... + a_n)h$.

Сумма $(a_1 + a_2 + ... + a_n)$ является периметром основания призмы, который обозначается $P$. Таким образом, формула для площади боковой поверхности прямой призмы:

$S_{бок} = P \cdot h$

Это означает, что площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту.

Ответ: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту призмы ($S_{бок} = P \cdot h$).

Параллелепипедом называется призма, основанием которой является параллелограмм.

Поскольку основания являются параллелограммами, а боковые грани любой призмы также являются параллелограммами, у параллелепипеда все шесть граней – параллелограммы. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Ответ: Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Свойство: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство:

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Введем векторы, отложенные от вершины $A$: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$ и $\vec{AA_1} = \vec{a_1}$.

Выразим радиус-векторы всех вершин через эти три вектора, приняв точку $A$ за начало координат:

• $\vec{r}_A = \vec{0}$
• $\vec{r}_B = \vec{b}$
• $\vec{r}_D = \vec{d}$
• $\vec{r}_{A_1} = \vec{a_1}$
• $\vec{r}_C = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{d}$
• $\vec{r}_{B_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{a_1}$
• $\vec{r}_{D_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{d} + \vec{a_1}$
• $\vec{r}_{C_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{d} + \vec{a_1}$

Параллелепипед имеет четыре диагонали: $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$, и $DB_1$. Найдем радиус-векторы середин этих диагоналей. Радиус-вектор середины отрезка $XY$ равен $\frac{1}{2}(\vec{r}_X + \vec{r}_Y)$.

• Середина диагонали $AC_1$: $\frac{1}{2}(\vec{r}_A + \vec{r}_{C_1}) = \frac{1}{2}(\vec{0} + \vec{b} + \vec{d} + \vec{a_1}) = \frac{1}{2}(\vec{a_1} + \vec{b} + \vec{d})$.
• Середина диагонали $BD_1$: $\frac{1}{2}(\vec{r}_B + \vec{r}_{D_1}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + (\vec{d} + \vec{a_1})) = \frac{1}{2}(\vec{a_1} + \vec{b} + \vec{d})$.
• Середина диагонали $CA_1$: $\frac{1}{2}(\vec{r}_C + \vec{r}_{A_1}) = \frac{1}{2}((\vec{b} + \vec{d}) + \vec{a_1}) = \frac{1}{2}(\vec{a_1} + \vec{b} + \vec{d})$.
• Середина диагонали $DB_1$: $\frac{1}{2}(\vec{r}_D + \vec{r}_{B_1}) = \frac{1}{2}(\vec{d} + (\vec{b} + \vec{a_1})) = \frac{1}{2}(\vec{a_1} + \vec{b} + \vec{d})$.

Поскольку радиус-векторы середин всех четырех диагоналей совпадают, это означает, что все они пересекаются в одной и той же точке, которая является серединой каждой из них. Что и требовалось доказать.

Ответ: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Различают следующие виды параллелепипедов:

• Прямой параллелепипед – это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. В этом случае он является прямой призмой. Его основания – параллелограммы, а боковые грани – прямоугольники.
• Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. У прямоугольного параллелепипеда все шесть граней являются прямоугольниками.

Ответ: Прямой параллелепипед — это параллелепипед с боковыми ребрами, перпендикулярными основанию. Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник (следовательно, все грани — прямоугольники).

В контексте геометрии пространственных фигур, обобщенной теоремой Пифагора чаще всего называют теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Формулировка: Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты).

Если $a, b, c$ – измерения прямоугольного параллелепипеда, а $d$ – его диагональ, то:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с измерениями $AB=a$ (длина), $AD=b$ (ширина) и $AA_1=c$ (высота). Найдем длину его диагонали $AC_1 = d$.

1. Сначала рассмотрим основание $ABCD$. Это прямоугольник. Проведем в нем диагональ $AC$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным (с прямым углом при вершине $B$). По теореме Пифагора для этого треугольника:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Поскольку $BC = AD = b$, получаем: $AC^2 = a^2 + b^2$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ACC_1$. Так как параллелепипед прямоугольный, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, перпендикулярно и прямой $AC$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, треугольник $ACC_1$ является прямоугольным (с прямым углом при вершине $C$).

3. Диагональ параллелепипеда $AC_1$ является гипотенузой в треугольнике $ACC_1$. Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получаем:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

4. Подставим в это равенство найденное ранее выражение для $AC^2$ и учтем, что $CC_1 = AA_1 = c$:

$d^2 = (a^2 + b^2) + c^2$

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Теорема доказана.

Ответ: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его длины, ширины и высоты ($d^2 = a^2 + b^2 + c^2$). Доказательство основано на двукратном применении теоремы Пифагора: сначала для диагонали основания, а затем для диагонали самого параллелепипеда.