Номер 1.38, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.38. По указанным описаниям определите вид многогранника и постройте его.

1) Многогранник имеет 12 ребер, грани многогранника являются квадратами и прямоугольниками;

2) многогранник имеет 5 граней, из них две грани являются равными треугольниками, а другие три – прямоугольниками;

3) многогранник состоит из 6 равных между собой квадратов.

1) Проанализируем условия. Многогранник имеет 12 ребер. Его грани — это квадраты и прямоугольники, то есть четырехугольники. Пусть $В$ — число вершин, $Р$ — число ребер, $Г$ — число граней. Нам дано, что $Р = 12$. Каждое ребро принадлежит двум граням. Сумма числа сторон всех граней равна удвоенному числу ребер. Так как все грани — четырехугольники, то $4 \cdot Г = 2 \cdot Р$. Подставим известное значение $Р = 12$: $4 \cdot Г = 2 \cdot 12$, откуда $4 \cdot Г = 24$ и $Г = 6$. Таким образом, многогранник имеет 6 граней. Теперь воспользуемся формулой Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$. Подставим известные значения $Р=12$ и $Г=6$: $В - 12 + 6 = 2$, откуда $В - 6 = 2$ и $В = 8$. Итак, многогранник имеет 8 вершин, 12 ребер и 6 граней, причем все грани — прямоугольники или квадраты. Это определение прямоугольного параллелепипеда. Если бы все грани были равными квадратами, это был бы куб. Если же есть и квадраты, и прямоугольники, это прямоугольный параллелепипед, у которого, например, основания являются квадратами, а боковые грани — прямоугольниками.

Ответ: Прямоугольный параллелепипед.

2) Согласно условию, многогранник имеет 5 граней. Две грани — равные треугольники, а остальные три — прямоугольники. Такое описание соответствует прямой треугольной призме. У прямой треугольной призмы два основания — это равные треугольники, а три боковые грани — это прямоугольники. Проверим количество элементов для прямой треугольной призмы: число граней равно 5 (2 треугольных основания + 3 прямоугольные боковые грани), что соответствует условию; число вершин равно 6 (по 3 у каждого основания); число ребер равно 9 (по 3 у каждого основания и 3 боковых). Проверим по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 6 - 9 + 5 = 2$. Формула верна. Следовательно, описанный многогранник — это прямая треугольная призма.

Ответ: Прямая треугольная призма.

3) По условию, многогранник состоит из 6 равных между собой квадратов. Это точное определение куба. Куб — это правильный многогранник (одно из пяти Платоновых тел), у которого все грани являются равными квадратами. Элементы куба: 6 граней (квадраты), 8 вершин, 12 ребер. Проверим по формуле Эйлера: $В - Р + Г = 8 - 12 + 6 = 2$. Формула верна.

Ответ: Куб.