Номер 1.43, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.43. Определите вид многогранника (рис. 1.25) и найдите площади его боковой и полной поверхностей.

Рис. 1.25

1) Данная развёртка представляет собой прямоугольный параллелепипед. Это шестигранник, все грани которого являются прямоугольниками.

Из рисунка мы можем определить три измерения параллелепипеда (длину, ширину и высоту). Ширина одной из граней равна 6 см. Высота примыкающей к ней грани (основания) равна 3 см. Третье измерение, высота параллелепипеда, обозначена одинарным штрихом. Из строения развёртки следует, что при сворачивании эта сторона соединяется со стороной основания, равной 3 см. Таким образом, размеры параллелепипеда равны 6 см, 3 см и 3 см.

Для вычисления площади боковой поверхности выберем в качестве оснований грани размером 6 см × 3 см. Тогда высота параллелепипеда будет 3 см. Периметр основания $P$ равен $2 \cdot (6 + 3) = 18$ см. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна произведению периметра основания на высоту $h$:

$S_{бок} = P \cdot h = 18 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 54 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности и двух площадей основания $S_{осн}$. Площадь одного основания: $S_{осн} = 6 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 18 \text{ см}^2$.

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 54 \text{ см}^2 + 2 \cdot 18 \text{ см}^2 = 54 \text{ см}^2 + 36 \text{ см}^2 = 90 \text{ см}^2$.

Ответ: Прямоугольный параллелепипед, площадь боковой поверхности – $54 \text{ см}^2$, площадь полной поверхности – $90 \text{ см}^2$.

2) Данная развёртка представляет собой треугольную призму. У этой призмы 5 граней: два треугольника (основания) и три четырехугольника (боковые грани).

Основаниями призмы являются два равных прямоугольных треугольника. Из рисунка видно, что катеты этих треугольников примыкают к сторонам квадратов, равным 4 см. Следовательно, оба катета каждого треугольника равны 4 см. Основания — это два прямоугольных равнобедренных треугольника с катетами по 4 см.

Площадь одного основания $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$.

Боковые грани — это три четырехугольника, которые в развёртке соединяют основания. Две боковые грани соответствуют катетам треугольного основания и являются квадратами со стороной 4 см. Их площадь $16 \text{ см}^2$ у каждой.

Третья боковая грань соответствует гипотенузе. Длина гипотенузы $c$ по теореме Пифагора: $c = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см. Эта грань также является квадратом со стороной $4\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей трёх боковых граней (двух малых квадратов и одного большого):

$S_{бок} = (4 \cdot 4) + (4 \cdot 4) + (4\sqrt{2})^2 = 16 + 16 + 32 = 64 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 64 \text{ см}^2 + 2 \cdot 8 \text{ см}^2 = 64 + 16 = 80 \text{ см}^2$.

Ответ: Треугольная призма, площадь боковой поверхности – $64 \text{ см}^2$, площадь полной поверхности – $80 \text{ см}^2$.