Номер 1.47, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.47. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, у которого катет равен 4 см, гипотенуза - 5 см, а высота призмы равна 3 см. Определите диагональ грани при большем катете и площадь полной поверхности призмы (рис. 1.29).

Рис. 1.29

Согласно условию, в основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник. Пусть его катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c$. Известно, что один катет равен 4 см, а гипотенуза - 5 см. Высота призмы $h$ равна 3 см.

Пусть известный катет $a = 4$ см, гипотенуза $c = 5$ см.

Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Таким образом, катеты треугольника в основании равны 3 см и 4 см.

Диагональ грани при большем катете

Больший катет основания равен 4 см. Боковая грань, которая соответствует этому катету, является прямоугольником. Стороны этого прямоугольника равны большему катету (4 см) и высоте призмы ($h = 3$ см).

Найдем диагональ $d$ этого прямоугольника по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

Площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ вычисляется как сумма площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

1. Площадь основания (прямоугольного треугольника) равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$.

2. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра её основания $P_{осн}$ на высоту призмы $h$.

Периметр основания: $P_{осн} = 3 + 4 + 5 = 12$ см.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 12 \cdot 3 = 36$ см$^2$.

3. Вычислим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 6 + 36 = 12 + 36 = 48$ см$^2$.

Ответ: 48 см$^2$.