Номер 1.51, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.51. Стороны основания прямого параллелепипеда равны $\text{a}$ и $\text{b}$, угол между ними - $\varphi$, а боковое ребро - $\text{c}$. Найдите площади его боковой и полной поверхностей, если:

1) $a=2$ см, $b=23$ см, $\varphi=60^\circ$, $c=5$ см;

2) $a=2$ м, $b=5$ м, $\varphi=45^\circ$, $c=6$ м;

3) $a=5$ мм, $b=8$ мм, $\varphi=30^\circ$, $c=10$ мм.

Для решения задачи используются формулы площади боковой и полной поверхности прямого параллелепипеда. Прямой параллелепипед — это параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны основаниям. Основанием является параллелограмм.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту (длину бокового ребра $c$):

$S_{бок} = P_{осн} \cdot c = 2(a+b)c$, где $a$ и $b$ — стороны основания.

Площадь основания ($S_{осн}$), которое является параллелограммом, вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin{\phi}$, где $\phi$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Рассчитаем площади для каждого случая.

1) Дано: $a=2$ см, $b=23$ см, $\phi=60^{\circ}$, $c=5$ см.

Найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2(a+b)c = 2(2+23) \cdot 5 = 2 \cdot 25 \cdot 5 = 250$ см².

Найдем площадь основания:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin{\phi} = 2 \cdot 23 \cdot \sin{60^{\circ}} = 46 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 23\sqrt{3}$ см².

Найдем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 250 + 2 \cdot 23\sqrt{3} = 250 + 46\sqrt{3}$ см².

Ответ: площадь боковой поверхности равна $250$ см², площадь полной поверхности равна $250 + 46\sqrt{3}$ см².

2) Дано: $a=2$ м, $b=5$ м, $\phi=45^{\circ}$, $c=6$ м.

Найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2(a+b)c = 2(2+5) \cdot 6 = 2 \cdot 7 \cdot 6 = 84$ м².

Найдем площадь основания:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin{\phi} = 2 \cdot 5 \cdot \sin{45^{\circ}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ м².

Найдем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 84 + 2 \cdot 5\sqrt{2} = 84 + 10\sqrt{2}$ м².

Ответ: площадь боковой поверхности равна $84$ м², площадь полной поверхности равна $84 + 10\sqrt{2}$ м².

3) Дано: $a=5$ мм, $b=8$ мм, $\phi=30^{\circ}$, $c=10$ мм.

Найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2(a+b)c = 2(5+8) \cdot 10 = 2 \cdot 13 \cdot 10 = 260$ мм².

Найдем площадь основания:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin{\phi} = 5 \cdot 8 \cdot \sin{30^{\circ}} = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$ мм².

Найдем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 260 + 2 \cdot 20 = 260 + 40 = 300$ мм².

Ответ: площадь боковой поверхности равна $260$ мм², площадь полной поверхности равна $300$ мм².