Номер 1.55, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.55. Найдите двугранный угол при боковых ребрах правильной шестиугольной призмы.

Правильная шестиугольная призма — это прямая призма, в основаниях которой лежат два равных правильных шестиугольника. Боковые грани призмы являются прямоугольниками, а боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований.

Двугранный угол при боковом ребре — это угол между двумя смежными боковыми гранями. Эти грани пересекаются по общему боковому ребру.

Для того чтобы измерить этот двугранный угол, необходимо построить его линейный угол. Линейный угол строится следующим образом: на ребре двугранного угла (в нашем случае — на боковом ребре призмы) выбирается произвольная точка, и через неё проводятся два луча, перпендикулярные этому ребру, причём каждый луч лежит в одной из граней. Угол между этими лучами и будет линейным углом двугранного угла.

Поскольку в правильной призме боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, то любая прямая, лежащая в плоскости основания, будет перпендикулярна боковому ребру. Рассмотрим одну из вершин основания, например, вершину $B$. Из неё выходят две стороны основания, например, $AB$ и $BC$. Сторона $AB$ лежит в одной боковой грани, а сторона $BC$ — в смежной ей боковой грани. Обе эти стороны перпендикулярны боковому ребру, проходящему через вершину $B$.

Следовательно, угол между сторонами $AB$ и $BC$, то есть внутренний угол правильного шестиугольника $\angle ABC$, и является линейным углом двугранного угла при боковом ребре.

Величина внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника вычисляется по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

В нашем случае основанием является правильный шестиугольник, поэтому $n=6$. Подставим это значение в формулу: $\alpha = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$

Таким образом, двугранный угол при каждом боковом ребре правильной шестиугольной призмы равен $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.