Номер 1.62, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.62. Найдите длину наибольшего стержня, который можно поместить внутрь прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рис. 1.33.

Рис. 1.33

Длина наибольшего стержня, который можно поместить внутрь прямоугольного параллелепипеда, равна длине его пространственной диагонали. Длина пространственной диагонали $d$ для параллелепипеда с измерениями (длиной, шириной и высотой) $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле, основанной на теореме Пифагора в трехмерном пространстве: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Найдем длину для каждого случая.

1) Измерения параллелепипеда: $a = 2$ см, $b = 4$ см, $c = 5$ см. Длина диагонали: $d = \sqrt{2^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 16 + 25} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см. Ответ: $3\sqrt{5}$ см.

2) Измерения параллелепипеда: $a = 60$ см, $b = 50$ см, $c = 20$ см. Длина диагонали: $d = \sqrt{60^2 + 50^2 + 20^2} = \sqrt{3600 + 2500 + 400} = \sqrt{6500} = \sqrt{100 \cdot 65} = 10\sqrt{65}$ см. Ответ: $10\sqrt{65}$ см.

3) Измерения параллелепипеда: $a = 20$ см, $b = 50$ см, $c = 12$ см. Длина диагонали: $d = \sqrt{20^2 + 50^2 + 12^2} = \sqrt{400 + 2500 + 144} = \sqrt{3044} = \sqrt{4 \cdot 761} = 2\sqrt{761}$ см. Ответ: $2\sqrt{761}$ см.

4) В данном случае все измерения равны $x$, то есть это куб. Длина диагонали: $d = \sqrt{x^2 + x^2 + x^2} = \sqrt{3x^2} = x\sqrt{3}$. Ответ: $x\sqrt{3}$.

5) Измерения параллелепипеда: $a = 2x$, $b = x$, $c = x$. Длина диагонали: $d = \sqrt{(2x)^2 + x^2 + x^2} = \sqrt{4x^2 + x^2 + x^2} = \sqrt{6x^2} = x\sqrt{6}$. Ответ: $x\sqrt{6}$.

6) Измерения параллелепипеда: $a = x$, $b = y$, $c = z$. Это общий случай, и длина диагонали вычисляется по стандартной формуле: $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Ответ: $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.