Номер 1.65, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.65. Три измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 3:7:8, а площадь боковой поверхности равна $640 \text{ см}^2$. Найдите ребра параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию, их длины относятся как $3:7:8$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда ребра можно выразить следующим образом: $a = 3x$, $b = 7x$, $c = 8x$.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота. Примем за основание прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, тогда высота параллелепипеда будет равна $c$. Периметр основания равен $P_{осн} = 2(a + b)$. Следовательно, формула для площади боковой поверхности будет $S_{бок} = 2(a + b)c$.

Подставим выражения для $a$, $b$ и $c$ в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2(3x + 7x) \cdot 8x$ $S_{бок} = 2(10x) \cdot 8x$ $S_{бок} = 20x \cdot 8x$ $S_{бок} = 160x^2$

По условию задачи, площадь боковой поверхности равна $640 \text{ см}^2$. Составим и решим уравнение: $160x^2 = 640$ $x^2 = \frac{640}{160}$ $x^2 = 4$ $x = \sqrt{4} = 2$ (так как длина ребра — положительная величина).

Теперь найдем длины ребер параллелепипеда, подставив значение $x=2$: Первое ребро: $a = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}$. Второе ребро: $b = 7x = 7 \cdot 2 = 14 \text{ см}$. Третье ребро: $c = 8x = 8 \cdot 2 = 16 \text{ см}$.

Ответ: ребра параллелепипеда равны 6 см, 14 см и 16 см.