Номер 1.70, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.70. Все боковые грани правильной треугольной призмы – квадраты, а радиус окружности, вписанной в основание, равен $\text{r}$. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ вычисляется как сумма площадей двух оснований $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Так как призма правильная треугольная, в её основании лежит равносторонний треугольник. Обозначим сторону этого треугольника как $a$.

Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, связан с ней соотношением: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Из этой формулы мы можем выразить сторону основания $a$ через данный радиус $r$: $a = 2\sqrt{3}r$.

Согласно условию, все боковые грани призмы являются квадратами. Это означает, что высота призмы $h$ равна стороне её основания $a$. Таким образом: $h = a = 2\sqrt{3}r$.

Теперь вычислим площадь одного основания. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим в эту формулу выражение для $a$: $S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3}r)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3 \cdot r^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{12r^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}r^2$.

Далее найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$. Она состоит из трех одинаковых квадратных граней со стороной $a$. $S_{бок} = 3 \cdot a^2$.

Подставим выражение для $a$: $S_{бок} = 3 \cdot (2\sqrt{3}r)^2 = 3 \cdot (4 \cdot 3 \cdot r^2) = 3 \cdot 12r^2 = 36r^2$.

Наконец, рассчитаем площадь полной поверхности призмы, сложив удвоенную площадь основания и площадь боковой поверхности: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot (3\sqrt{3}r^2) + 36r^2 = 6\sqrt{3}r^2 + 36r^2$.

Для упрощения выражения вынесем общий множитель $6r^2$ за скобки: $S_{полн} = 6r^2(6 + \sqrt{3})$.

Ответ: $6r^2(6 + \sqrt{3})$.