Номер 1.74, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.74*. Найдите точку, равноудаленную от всех вершин прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит прямоугольный треугольник $ABC$ (с прямым углом при вершине $C$). Высота призмы равна $h$. Вершины призмы: $A, B, C$ в нижнем основании и $A_1, B_1, C_1$ в верхнем основании.

Искомая точка $O$ должна быть равноудалена от всех шести вершин призмы, то есть должно выполняться равенство $OA = OB = OC = OA_1 = OB_1 = OC_1$. Такая точка является центром сферы, описанной около призмы.

Рассмотрим сначала вершины нижнего основания $A, B, C$. Множество точек пространства, равноудаленных от вершин треугольника $ABC$, представляет собой прямую, перпендикулярную плоскости этого треугольника и проходящую через центр описанной около него окружности.

Поскольку треугольник $ABC$ — прямоугольный, центр его описанной окружности, обозначим его $M$, является серединой гипотенузы $AB$. Следовательно, искомая точка $O$ должна лежать на прямой $l$, проходящей через точку $M$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Так как призма прямая, эта прямая $l$ параллельна боковым ребрам (например, $AA_1$).

Аналогично, точка $O$ должна быть равноудалена от вершин верхнего основания $A_1, B_1, C_1$. Центром описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$ является точка $M_1$ — середина гипотенузы $A_1B_1$. Таким образом, точка $O$ должна лежать и на прямой, проходящей через $M_1$ и перпендикулярной плоскости $A_1B_1C_1$. Поскольку призма прямая, отрезок $MM_1$ перпендикулярен обоим основаниям, и обе эти прямые совпадают с прямой, содержащей отрезок $MM_1$.

Итак, точка $O$ лежит на отрезке $MM_1$, который соединяет центры описанных окружностей оснований (то есть середины гипотенуз).

Теперь используем условие равноудаленности от вершин разных оснований, например, $OA = OA_1$. Это означает, что точка $O$ лежит в плоскости, которая перпендикулярна отрезку $AA_1$ и проходит через его середину.

Поскольку призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основаниям, и его длина равна высоте призмы $h$. Плоскость, перпендикулярная $AA_1$ и делящая его пополам, — это плоскость, параллельная основаниям призмы и находящаяся на одинаковом расстоянии $h/2$ от каждого из них.

Искомая точка $O$ является точкой пересечения прямой $MM_1$ и этой срединной плоскости. Такое пересечение — это середина отрезка $MM_1$.

Таким образом, точка, равноудаленная от всех вершин прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, — это середина отрезка, соединяющего середины гипотенуз ее оснований.

Ответ: Искомая точка — это середина отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы. Так как основаниями являются прямоугольные треугольники, центры описанных окружностей являются серединами гипотенуз. Следовательно, искомая точка — это середина отрезка, соединяющего середины гипотенуз оснований.