Номер 1.77, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.77. 1) В треугольнике ABC стороны AB и BC равны 6. На стороне AB как на диаметре проведена окружность, которая пересекает сторону BC в точке D, причем $BD:DC=2:1$. Найдите длину стороны AC.

2) На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре проведена окружность. Она пересекает гипотенузу в точке D так, что $AD:DB=1:3$. Высота, опущенная из вершины C на гипотенузу, равна 3. Найдите длину катета BC.

1) По условию, в треугольнике $ABC$ стороны $AB=6$ и $BC=6$.

На стороне $AB$ как на диаметре проведена окружность. Точка $D$ лежит на этой окружности и на стороне $BC$. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, угол $ADB$ равен $90^\circ$. Это означает, что отрезок $AD$ является высотой в треугольнике $ABC$, опущенной на сторону $BC$.

По условию, соотношение $BD:DC=2:1$. Так как $BC = BD + DC = 6$, мы можем найти длины отрезков $BD$ и $DC$. Пусть $DC = x$, тогда $BD = 2x$. Получаем $2x + x = 6$, откуда $3x=6$ и $x=2$. Таким образом, $DC=2$, а $BD=4$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Он прямоугольный с гипотенузой $AB=6$ и катетом $BD=4$. Мы можем найти косинус угла $B$:

$\cos(\angle B) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BD}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Чтобы найти длину стороны $AC$, применим теорему косинусов для треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные значения:

$AC^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{2}{3}$

$AC^2 = 36 + 36 - 72 \cdot \frac{2}{3}$

$AC^2 = 72 - 24 \cdot 2$

$AC^2 = 72 - 48 = 24$

$AC = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{6}$

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $BC$ - катет. Следовательно, $\angle C = 90^\circ$, а $AB$ - гипотенуза.

На катете $BC$ как на диаметре проведена окружность, которая пересекает гипотенузу $AB$ в точке $D$. Так как угол $BDC$ вписан в окружность и опирается на диаметр $BC$, он равен $90^\circ$. Это означает, что $CD$ является высотой, опущенной из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$.

По условию, длина этой высоты равна 3. Таким образом, $CD = 3$.

Также дано соотношение $AD:DB=1:3$. Обозначим $AD = x$, тогда $DB = 3x$.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу. То есть:

$CD^2 = AD \cdot DB$

Подставляем известные значения:

$3^2 = x \cdot 3x$

$9 = 3x^2$

$x^2 = 3$

$x = \sqrt{3}$ (так как длина отрезка не может быть отрицательной)

Теперь мы можем найти длину отрезка $DB$:

$DB = 3x = 3\sqrt{3}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDB$ (угол $CDA$ равен $90^\circ$). В нем известны два катета: $CD=3$ и $DB=3\sqrt{3}$. Мы можем найти гипотенузу $BC$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = CD^2 + DB^2$

$BC^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2$

$BC^2 = 9 + 9 \cdot 3$

$BC^2 = 9 + 27 = 36$

$BC = \sqrt{36} = 6$

Ответ: 6