Номер 1.79, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.79. На плотной бумаге изобразите развертку правильной шестиугольной:

1) пирамиды;

2) усеченной пирамиды.

Из каждой развертки постройте соответствующий многогранник.

1) пирамиды

Для построения развертки правильной шестиугольной пирамиды и последующей сборки модели потребуются плотная бумага, карандаш, линейка, циркуль, ножницы и клей.

Построение развертки:

1. Выберите размеры пирамиды: длину стороны основания a и длину бокового ребра b. Для того чтобы пирамида получилась, необходимо, чтобы боковое ребро было длиннее стороны основания, то есть b >a.

2. В центре листа начертите с помощью циркуля и линейки правильный шестиугольник, который будет служить основанием пирамиды. Все его стороны равны a. Самый простой способ – начертить окружность радиусом R = a, отметить на ней любую точку и, не меняя раствора циркуля, последовательно откладывать на окружности от этой точки хорды длиной a. Соединив полученные шесть точек, вы получите правильный шестиугольник.

3. К каждой из шести сторон шестиугольника необходимо пристроить равнобедренный треугольник, который будет боковой гранью пирамиды. Основание у этих треугольников уже есть – это сторона шестиугольника. Боковые стороны должны быть равны b.

4. Для построения треугольника установите иглу циркуля в одну из вершин стороны шестиугольника и проведите дугу радиусом b. Затем установите иглу в другую вершину той же стороны и проведите вторую дугу таким же радиусом. Точка пересечения этих дуг будет вершиной треугольника (и, в будущем, вершиной пирамиды). Соедините эту точку с вершинами стороны шестиугольника. Повторите эту операцию для всех шести сторон основания.

5. Для удобства склеивания дочертите к некоторым свободным сторонам треугольников (например, к одной из боковых сторон каждой второй грани) небольшие клапаны-язычки.

Сборка многогранника:

1. Аккуратно вырежьте получившуюся развертку по внешнему контуру, включая клапаны.

2. Согните бумагу по всем начерченным линиям. Для более аккуратных сгибов можно предварительно продавить их тупой стороной ножниц или непишущей ручкой.

3. Нанесите клей на клапаны.

4. Последовательно склейте боковые грани друг с другом, чтобы сформировать боковую поверхность пирамиды. Все треугольники сойдутся в одной точке – вершине пирамиды.

Ответ: Развертка правильной шестиугольной пирамиды состоит из одного правильного шестиугольника (основания) и шести конгруэнтных равнобедренных треугольников (боковых граней), примыкающих к сторонам шестиугольника. Многогранник строится путем вырезания, сгибания и склеивания данной развертки.

2) усеченной пирамиды

Развертка правильной шестиугольной усеченной пирамиды состоит из двух правильных шестиугольников (верхнего и нижнего оснований) и шести одинаковых равнобедренных трапеций (боковых граней).

Построение развертки:

1. Задайте параметры усеченной пирамиды: длину стороны нижнего (большего) основания a₁, длину стороны верхнего (меньшего) основания a₂ и длину бокового ребра c. Должно выполняться условие, чтобы боковое ребро было длиннее полуразности оснований трапеции, то есть $c > (a_1 - a_2)/2$.

2. Построение развертки боковой поверхности удобнее всего выполнять, представив усеченную пирамиду как часть полной пирамиды. Сначала необходимо рассчитать "воображаемые" боковые ребра полной пирамиды (b₁) и той ее части, которая была отсечена (b₂).

Из подобия треугольников получаем: $b_1 = \frac{c \cdot a_1}{a_1 - a_2}$ и $b_2 = \frac{c \cdot a_2}{a_1 - a_2}$.

3. На листе бумаги выберите точку O – это будет воображаемая вершина полной пирамиды. Из этой точки с помощью циркуля проведите две дуги: одну радиусом b₁, вторую – радиусом b₂.

4. На большей дуге (радиуса b₁) выберите произвольную точку и от нее последовательно отложите циркулем шесть отрезков-хорд, равных по длине стороне нижнего основания a₁. Вы получите 7 точек на дуге.

5. Соедините полученные 7 точек на большой дуге с центром O прямыми линиями. Эти линии пересекут меньшую дугу, образовав на ней отрезки, равные по длине стороне верхнего основания a₂. В результате между дугами у вас будут начерчены шесть одинаковых трапеций, соединенных боковыми сторонами. Это и есть развертка боковой поверхности.

6. Теперь нужно начертить основания. К одному из нижних оснований трапеций (отрезку длиной a₁) пристройте правильный шестиугольник со стороной a₁. К одному из верхних оснований трапеций (отрезку длиной a₂) пристройте правильный шестиугольник со стороной a₂.

7. Добавьте клапаны для склеивания к одной из крайних боковых сторон развертки трапеций и к свободным сторонам одного из шестиугольников.

Сборка многогранника:

1. Вырежьте развертку по внешнему контуру вместе с клапанами.

2. Сделайте аккуратные сгибы по всем линиям.

3. Склейте боковую поверхность, соединив крайние трапеции.

4. Вклейте нижнее и верхнее основания.

Ответ: Развертка правильной шестиугольной усеченной пирамиды состоит из двух правильных шестиугольников разных размеров и шести конгруэнтных равнобедренных трапеций. Построение развертки боковой поверхности удобно выполнять методом двух дуг, рассчитав предварительно параметры полной пирамиды. Многогранник строится путем вырезания, сгибания и склеивания развертки.