Номер 1.84, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.84. Существует ли пирамида, количество ребер которой равно:

1) 8;

2) 13;

3) 98;

4) 127?

Если существует, то найдите количество вершин основания. Обоснуйте ответ.

Для ответа на этот вопрос нужно определить связь между количеством ребер пирамиды и количеством вершин в ее основании. Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. У такого многоугольника n вершин и n сторон, которые являются ребрами основания пирамиды. Кроме ребер основания, у пирамиды есть боковые ребра, которые соединяют каждую из n вершин основания с вершиной самой пирамиды (апексом). Количество боковых ребер также равно n. Таким образом, общее количество ребер (обозначим его Р) в пирамиде, в основании которой лежит n-угольник, вычисляется по формуле: $Р = n_{основания} + n_{боковых} = n + n = 2n$ Из этой формулы следует, что общее количество ребер в любой пирамиде всегда является четным числом. Кроме того, поскольку в основании пирамиды лежит многоугольник, количество его вершин n должно быть не меньше 3 ($n \ge 3$), а значит, общее количество ребер Р должно быть не меньше $2 \times 3 = 6$.

1) 8

Проверим, может ли пирамида иметь 8 ребер. Число 8 — четное, что удовлетворяет основному условию. Если такая пирамида существует, то ее количество ребер должно соответствовать формуле $Р = 2n$. $8 = 2n$ Отсюда находим количество вершин в основании: $n = 8 / 2 = 4$ Поскольку $n=4$ является целым числом и удовлетворяет условию $n \ge 3$, то пирамида с 8 ребрами существует. В ее основании лежит четырехугольник.

Ответ: существует, 4 вершины в основании.

2) 13

Проверим, может ли пирамида иметь 13 ребер. Согласно формуле $Р = 2n$, общее количество ребер в любой пирамиде должно быть четным числом, так как оно равно удвоенному числу вершин основания (которое является целым числом). Число 13 является нечетным. Следовательно, не существует такого целого n, для которого $2n = 13$. Таким образом, пирамида с 13 ребрами существовать не может.

Ответ: не существует.

3) 98

Проверим, может ли пирамида иметь 98 ребер. Число 98 — четное. Применим формулу $Р = 2n$: $98 = 2n$ Найдем количество вершин в основании: $n = 98 / 2 = 49$ Поскольку $n=49$ является целым числом и $n \ge 3$, то пирамида с 98 ребрами существует. В ее основании лежит 49-угольник.

Ответ: существует, 49 вершин в основании.

4) 127

Проверим, может ли пирамида иметь 127 ребер. Общее количество ребер пирамиды всегда является четным числом ($Р = 2n$). Число 127 является нечетным. Поэтому не существует целого числа n (количества вершин основания), которое при умножении на 2 дало бы 127. Следовательно, пирамиды со 127 ребрами не существует.

Ответ: не существует.