Номер 1.89, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.89. Решите задачу 1.87, вместо правильной треугольной пирамиды взяв правильную четырехугольную пирамиду.

1.87. Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен $\varphi$, а сторона основания - $\text{a}$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если:

1) $\varphi = 45^\circ$, $a = 3\sqrt{2}$ см;

2) $\varphi = 60^\circ$, $a = 4$ м.

Согласно условию, мы решаем задачу для правильной четырехугольной пирамиды. В основании такой пирамиды лежит квадрат со стороной $a$, а ее боковые грани — равные между собой равнобедренные треугольники.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды $S_{бок}$ вычисляется как сумма площадей ее боковых граней. Так как в основании квадрат, у пирамиды четыре одинаковые боковые грани. Площадь одной такой грани (треугольника) равна половине произведения ее основания (стороны квадрата $a$) на ее высоту (апофему пирамиды $h_s$).

$S_{бок} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s\right) = 2 a h_s$.

Для нахождения апофемы $h_s$ воспользуемся двугранным углом при основании $\phi$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_s$ (гипотенуза) и радиусом вписанной в основание окружности $r$ (катет). Для квадрата со стороной $a$ радиус вписанной окружности равен половине стороны: $r = \frac{a}{2}$.

Двугранный угол при основании $\phi$ — это угол между боковой гранью и плоскостью основания, который в нашем прямоугольном треугольнике является углом между апофемой $h_s$ и радиусом $r$. Таким образом, мы имеем соотношение: $\cos \phi = \frac{r}{h_s}$.

Выразим апофему $h_s$: $h_s = \frac{r}{\cos \phi} = \frac{a/2}{\cos \phi} = \frac{a}{2 \cos \phi}$.

Подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2a \cdot \left(\frac{a}{2 \cos \phi}\right) = \frac{a^2}{\cos \phi}$.

Используем эту общую формулу для решения конкретных случаев.

1) Дано: $\phi = 45^\circ$, $a = 3\sqrt{2}$ см.

Подставим значения в выведенную формулу: $S_{бок} = \frac{a^2}{\cos \phi} = \frac{(3\sqrt{2})^2}{\cos 45^\circ}$.

Вычислим числитель и знаменатель: $a^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$ см$^2$. $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем площадь: $S_{бок} = \frac{18}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{18 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{36}{\sqrt{2}} = \frac{36\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{36\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $18\sqrt{2}$ см$^2$.

2) Дано: $\phi = 60^\circ$, $a = 4$ м.

Подставим значения в формулу: $S_{бок} = \frac{a^2}{\cos \phi} = \frac{4^2}{\cos 60^\circ}$.

Вычислим числитель и знаменатель: $a^2 = 4^2 = 16$ м$^2$. $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем площадь: $S_{бок} = \frac{16}{\frac{1}{2}} = 16 \cdot 2 = 32$ м$^2$.

Ответ: $32$ м$^2$.