Номер 1.87, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.87. Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен $\phi$, а сторона основания - $\text{a}$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если:

1) $\phi=45^\circ$, $a = 3\sqrt{2}$ см;

2) $\phi=60^\circ$, $a=4$ м.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды $S_{бок}$ можно найти по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_s$, где $P$ - периметр основания, а $h_s$ - апофема (высота боковой грани).

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной $a$. Его периметр $P = 3a$.

Тогда формула для площади боковой поверхности принимает вид: $S_{бок} = \frac{1}{2} (3a) h_s = \frac{3a h_s}{2}$.

Двугранный угол при основании $\phi$ — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Рассмотрим треугольник $SOM$, где $S$ - вершина пирамиды, $O$ - центр основания (точка пересечения медиан, высот и биссектрис), $M$ - середина стороны основания. $SM$ - апофема $h_s$, $SO$ - высота пирамиды, а $OM$ - радиус вписанной в основание окружности. Угол $\angle SMO = \phi$.

Радиус $OM$ вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$ окружности равен $OM = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Из прямоугольного треугольника $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$) имеем:

$\cos \phi = \frac{OM}{SM} = \frac{OM}{h_s}$

Отсюда выразим апофему $h_s$:

$h_s = \frac{OM}{\cos \phi} = \frac{a/(2\sqrt{3})}{\cos \phi} = \frac{a}{2\sqrt{3}\cos \phi}$

Теперь подставим это выражение для $h_s$ в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}\cos \phi} = \frac{3a^2}{4\sqrt{3}\cos \phi}$

Упростим, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$S_{бок} = \frac{3a^2 \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3}\cos \phi \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4 \cdot 3 \cos \phi} = \frac{\sqrt{3}a^2}{4\cos \phi}$

Используем эту общую формулу для решения подпунктов.

1) Дано: $\phi = 45^\circ$, $a = 3\sqrt{2}$ см.

Подставим значения в формулу:

$S_{бок} = \frac{\sqrt{3} \cdot (3\sqrt{2})^2}{4 \cos 45^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cdot (9 \cdot 2)}{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{18\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

Упростим дробь и избавимся от иррациональности в знаменателе:

$S_{бок} = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{6}}{2}$ см².

Ответ: $\frac{9\sqrt{6}}{2}$ см².

2) Дано: $\phi = 60^\circ$, $a = 4$ м.

Подставим значения в формулу:

$S_{бок} = \frac{\sqrt{3} \cdot 4^2}{4 \cos 60^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cdot 16}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{16\sqrt{3}}{2}$

Упростим выражение:

$S_{бок} = 8\sqrt{3}$ м².

Ответ: $8\sqrt{3}$ м².