Номер 1.85, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.85. Назовите многогранник (рис. 1.44), определите площади его боковой и полной поверхностей.

Рис. 1.44

Название многогранника

На изображении показана развёртка (плоское представление) трёхмерного тела. Эта развёртка состоит из одного многоугольника (пятиугольника) и нескольких треугольников, примыкающих к его сторонам и имеющих общую вершину. При сворачивании такой развёртки получается многогранник, у которого одна грань — многоугольник (основание), а остальные грани — треугольники с общей вершиной (боковые грани). Такой многогранник называется пирамидой. Поскольку в основании лежит пятиугольник, это — пятиугольная пирамида.

Ответ: пятиугольная пирамида.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$) — это сумма площадей всех её боковых граней. В данном случае, это пять треугольников. Площадь боковой поверхности можно вычислить по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_s$

где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h_s$ — апофема пирамиды (высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды).

Из рисунка видно, что основанием является пятиугольник. Будем считать, что это правильный пятиугольник, так как для всех боковых граней, судя по развёртке, подразумевается одна и та же высота. Длина стороны основания, к которой примыкают боковые грани, равна $a = 14$.

Периметр основания (правильного пятиугольника) равен:

$P_{осн} = 5 \cdot a = 5 \cdot 14 = 70$

Высота боковой грани (апофема пирамиды) указана на рисунке: $h_s = 20,4$.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 70 \cdot 20,4 = 35 \cdot 20,4 = 714$

Ответ: 714.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

Площадь боковой поверхности мы уже нашли: $S_{бок} = 714$.

Теперь найдём площадь основания ($S_{осн}$). Основание — правильный пятиугольник. Площадь правильного многоугольника вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot a_p$

где $P_{осн}$ — периметр, а $a_p$ — апофема основания (длина перпендикуляра, опущенного из центра многоугольника на его сторону).

Из рисунка видно, что апофема основания $a_p = 9,6$. Периметр основания мы уже знаем: $P_{осн} = 70$.

Вычисляем площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 70 \cdot 9,6 = 35 \cdot 9,6 = 336$

Теперь находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 714 + 336 = 1050$

Ответ: 1050.