Номер 1.91, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.91. Постройте пирамиду, основанием которой является равнобедренная трапеция, основанием высоты – точка пересечения диагоналей трапеции.

1.91. Для построения пирамиды, основанием которой является равнобедренная трапеция, а основанием высоты — точка пересечения диагоналей трапеции, выполним следующие действия:

1. Изобразим на плоскости основание пирамиды — равнобедренную трапецию $ABCD$ в проекции. Пусть $AD$ и $BC$ будут ее основаниями ($AD \parallel BC$), а $AB$ и $CD$ — равными боковыми сторонами. Для наглядности расположим большее основание $AD$ ближе к наблюдателю.

2. В трапеции $ABCD$ проведем диагонали $AC$ и $BD$. Точку, в которой они пересекаются, обозначим $O$. Согласно условию, эта точка является основанием высоты нашей пирамиды.

3. Из точки $O$ восстановим перпендикуляр к плоскости основания $(ABCD)$. На этом перпендикуляре выберем произвольную точку $S$, которая будет вершиной пирамиды. Таким образом, отрезок $SO$ является высотой пирамиды ($SO \perp (ABCD)$).

4. Соединим вершину $S$ отрезками с каждой вершиной основания: $A$, $B$, $C$ и $D$. Эти отрезки, $SA, SB, SC, SD$, являются боковыми ребрами пирамиды.

5. Полученная фигура $SABCD$ — искомая пирамида. При построении следует учесть видимость рёбер. Рёбра, которые видны с выбранной точки обзора (например, $SA, SD, AD, CD$), изображаются сплошными линиями. Невидимые рёбра ($AB, BC, SB, SC$) и вспомогательные линии (высота $SO$, диагонали $AC$ и $BD$) изображаются штриховыми линиями.

Стоит отметить, что в такой пирамиде боковые ребра, проведенные к вершинам одного и того же основания трапеции, равны. Поскольку трапеция равнобедренная, то отрезки ее диагоналей от точки пересечения до вершин равны: $OA = OD$ и $OB = OC$. Треугольники $\triangle SOA, \triangle SOD, \triangle SOB, \triangle SOC$ являются прямоугольными с общим катетом $SO$. Следовательно, $\triangle SOA = \triangle SOD$ и $\triangle SOB = \triangle SOC$ (по двум катетам). Из этого следует равенство их гипотенуз: $SA = SD$ и $SB = SC$.

Ответ: Построение пирамиды $SABCD$ с основанием в виде равнобедренной трапеции $ABCD$ и высотой $SO$ ($O = AC \cap BD$) выполнено в соответствии с описанным алгоритмом.