Номер 1.95, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.95. Основанием пирамиды является квадрат со стороной, равной 5 см. Боковое ребро равно 7 см. Докажите, что площадь ее развертки равна $5(5+\sqrt{171})\text{ см}^2$ (рис. 1.46).

Рис. 1.46

Площадь развертки пирамиды, или площадь ее полной поверхности ($S_{полн}$), равна сумме площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

1. Нахождение площади основания.

Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a = 5$ см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2$.

$S_{осн} = 5^2 = 25$ см$^2$.

2. Нахождение площади боковой поверхности.

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равных равнобедренных треугольников, так как основание — правильный многоугольник (квадрат), а все боковые ребра равны ($l = 7$ см). Основание каждого такого треугольника равно стороне квадрата $a = 5$ см.

Для вычисления площади одного треугольника найдем его высоту, проведенную к основанию. Эта высота в правильной пирамиде называется апофемой ($h_a$). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза $l$), апофемой (катет $h_a$) и половиной стороны основания (катет $\frac{a}{2}$). По теореме Пифагора:

$l^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения:

$7^2 = h_a^2 + (\frac{5}{2})^2$

$49 = h_a^2 + \frac{25}{4}$

$h_a^2 = 49 - \frac{25}{4} = \frac{196}{4} - \frac{25}{4} = \frac{171}{4}$

$h_a = \sqrt{\frac{171}{4}} = \frac{\sqrt{171}}{2}$ см.

Площадь одной боковой грани (треугольника) равна:

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{171}}{2} = \frac{5\sqrt{171}}{4}$ см$^2$.

Площадь всей боковой поверхности — это сумма площадей четырех одинаковых граней:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot \frac{5\sqrt{171}}{4} = 5\sqrt{171}$ см$^2$.

3. Нахождение площади развертки.

Сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 25 + 5\sqrt{171}$ см$^2$.

Вынесем общий множитель 5 за скобки, чтобы привести выражение к виду, указанному в условии задачи:

$S_{полн} = 5(5 + \sqrt{171})$ см$^2$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что площадь развертки равна $5(5 + \sqrt{171}) \text{ см}^2$.