Номер 1.96, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.96. Основанием пирамиды является ромб, диагонали которого равны 6 см и 8 см. Высота пирамиды равна 6 см. Докажите, что площадь ее развертки равна $3(8+\sqrt{26})\text{ см}^2$ (рис. 1.47).

Рис. 1.47

Площадь развертки пирамиды (ее полной поверхности) равна сумме площади основания и площади боковой поверхности $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Найдем площадь основания. Основанием является ромб с диагоналями $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см. Площадь ромба вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{1}{2}d_1d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$.

Далее найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых треугольных граней, так как пирамида является прямой (ее высота, согласно рисунку, опускается в центр симметрии основания — точку пересечения диагоналей).

Сначала определим длину стороны ромба $a$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они образуют четыре прямоугольных треугольника с катетами $\frac{d_1}{2} = 3$ см и $\frac{d_2}{2} = 4$ см. Сторона ромба $a$ является гипотенузой в таком треугольнике. По теореме Пифагора:

$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь боковой грани равна половине произведения ее основания (стороны ромба $a$) на высоту грани (апофему пирамиды $h_a$). Апофема, в свою очередь, является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота пирамиды $h$ и радиус $r$ окружности, вписанной в ромб.

Найдем радиус вписанной окружности $r$. Площадь ромба также можно найти по формуле $S_{осн} = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр. Периметр ромба $P = 4a = 4 \cdot 5 = 20$ см, тогда полупериметр $p = 10$ см. Отсюда:

$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{24}{10} = 2.4$ см.

Теперь найдем апофему $h_a$ по теореме Пифагора, используя высоту пирамиды $h=6$ см:

$h_a = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{6^2 + (2.4)^2} = \sqrt{36 + 5.76} = \sqrt{41.76}$ см.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна учетверенной площади одной грани:

$S_{бок} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2} a h_a\right) = 2 a h_a = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{41.76} = 10\sqrt{41.76}$ см$^2$.

Упростим выражение для $S_{бок}$:

$\sqrt{41.76} = \sqrt{\frac{4176}{100}} = \frac{\sqrt{4176}}{10} = \frac{\sqrt{144 \cdot 29}}{10} = \frac{12\sqrt{29}}{10} = \frac{6\sqrt{29}}{5}$.

$S_{бок} = 10 \cdot \frac{6\sqrt{29}}{5} = 12\sqrt{29}$ см$^2$.

Теперь вычислим площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 24 + 12\sqrt{29}$ см$^2$.

В задаче требуется доказать, что площадь развертки равна $3(8 + \sqrt{26}) = 24 + 3\sqrt{26}$ см$^2$.

Сравним наш результат с требуемым. Полученная площадь боковой поверхности $12\sqrt{29}$ не равна $3\sqrt{26}$.

$12\sqrt{29} \approx 12 \cdot 5.385 \approx 64.62$

$3\sqrt{26} \approx 3 \cdot 5.099 \approx 15.30$

Таким образом, $24 + 12\sqrt{29} \neq 24 + 3\sqrt{26}$. Утверждение в условии задачи является неверным, вероятно, из-за опечатки в исходных данных или в требуемом ответе.

Ответ: Утверждение, которое требуется доказать, неверно. При заданных условиях площадь развертки пирамиды равна $24 + 12\sqrt{29}$ см$^2$, а не $3(8 + \sqrt{26})$ см$^2$.