Номер 1.103, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.103. Основанием треугольной пирамиды является правильный треугольник и все ее боковые ребра равны 15 см, а ее высота – 12 см. Найдите сторону основания (рис. 1.53).

Рис. 1.53

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где ABC – правильный треугольник в основании. Пусть SO – высота пирамиды, равная $h = 12$ см. Боковые ребра SA, SB, SC равны по условию, $l = 15$ см.

Так как все боковые ребра пирамиды равны, то вершина S проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для правильного треугольника этот центр (точка O) является также точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды SO, боковым ребром SA и радиусом описанной окружности основания OA. В этом треугольнике ($\triangle SOA$):

• гипотенуза SA = $l = 15$ см
• катет SO = $h = 12$ см
• катет OA = $R$ (радиус описанной окружности основания)

По теореме Пифагора найдем радиус $R$: $SA^2 = SO^2 + OA^2$ $l^2 = h^2 + R^2$ $15^2 = 12^2 + R^2$ $225 = 144 + R^2$ $R^2 = 225 - 144$ $R^2 = 81$ $R = \sqrt{81} = 9$ см.

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ или $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Выразим из этой формулы сторону $a$: $a = R\sqrt{3}$

Подставим найденное значение $R$: $a = 9\sqrt{3}$ см.

Ответ: $9\sqrt{3}$ см.